Пусть I – центр вписанной окружности треугольника АВС. Тогда А₁IВ₁С – квадрат (см. рис.). Заметим, что для треугольника А₁В₁С₁ эта окружность является описанной. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  IС ⊥ А₁В₁  и  C₁D ⊥ А₁В₁,  поэтому  IС || C₁D.  Кроме того,  IС = C₁D,  так как в любом треугольнике расстояние от центра описанной окружности до середины стороны в два раза меньше, чем расстояние от противолежащей вершины до ортоцентра треугольника. Следовательно, CDC₁I – параллелограмм и  CD = IC₁ = ½ (AC + BC – AB) = 1  (см. задачу 156847).   Второй способ. По теореме об угле между касательной и хордой  ∠B₁С₁А₁ =∠CB₁А₁ = 45°  (рис. слева).   ПустьB₁FиA₁E– высоты треугольникаА₁В₁С₁. Из четырёхугольникаDEC₁Fнайдём, что  ∠EDF = 135°.   Рассмотрим окружность ω с центромСи радиусом  CB₁=CA₁  и произвольную точкуKна большей дугеB₁А₁этой окружности. Тогда  ∠B₁KА₁= 45°.  Значит,  ∠B₁KА₁+ ∠B₁DА₁= 180°.  Следовательно, точкаDлежит на ω, то есть  CD=СB.  Дальнейшие вычисления приведены выше.