Олимпиадные задачи из источника «2013/14» для 6-7 класса
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Из шахматной доски (размером 8×8) вырезали центральный квадрат размером 2×2.
Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на равные фигурки в виде буквы "Г", состоящие из четырёх клеток?
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что лучи <i>AM</i> и <i>AN</i> делят угол <i>BAD</i> на три равные части. <i>ME</i> – высота треугольника <i>MAN</i>. Найдите угол <i>EDN</i>.
В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля, стартовав одновременно. Вася каждый круг проезжал на две секунды быстрее Пети, а Петя – на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле – два круга. Сколько кругов составляла дистанция?
Учительница записала на доске два натуральных числа. Лёня умножил первое число на сумму цифр второго и получил 201320132013. Федя умножил второе число на сумму цифр первого и получил 201420142014. Не ошибся ли кто-то из ребят?
В равнобедренном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 30°, <i>АВ = ВС</i> = 6. Проведены высота <i>CD</i> треугольника <i>АВС</i> и высота <i>DE</i> треугольника <i>BDC</i>.
Найдите <i>ВЕ</i>.
Два поезда, в каждом из которых по 20 одинаковых вагонов, двигались навстречу друг другу по параллельным путям с постоянными скоростями. Ровно через 36 секунд после встречи их первых вагонов пассажир Вова, сидя в купе четвертого вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Олегом, а еще через 44 секунды последние вагоны поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Олег?
По кругу стоят 12 детей. Мальчики всегда говорят правду мальчикам и врут девочкам, а девочки всегда говорят правду девочкам и врут мальчикам. Каждый из них сказал одну фразу своему соседу справа: "Ты – мальчик" или "Ты – девочка". Таких фраз оказалось поровну. Сколько мальчиков и сколько девочек стоит по кругу?
Покажите, как разрезать фигуру, изображённую на рисунке, на восемь равных частей пятью прямолинейными разрезами.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64789/problem_64789_img_2.gif"></div>
Число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64788/problem_64788_img_2.gif"> записали в виде несократимой дроби. Найдите её знаменатель.
Найдите наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 7 и записывается четырьмя различными цифрами.
В треугольнике <i>DEF</i> проведена медиана <i>DK</i>. Найдите углы треугольника, если ∠<i>KDE</i> = 70°, ∠<i>DKF</i> = 140°.
Тетрадь, ручка и карандаш стоят 120 рублей. А 5 тетрадей, 2 ручки и 3 карандаша стоят 350 рублей. Что дороже: две тетради или одна ручка?
Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?
Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?