Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 2 с решениями

Найдите все трёхзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.

Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?

На координатной плоскости изображен график функции  <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i>  (см. рисунок).

На этой же координатной плоскости схематически изобразите график функции  <i>y = cx</i>² + 2<i>bx + a</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64491/problem_64491_img_2.gif"></div>

Числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i> лежат в интервале  (0, 1).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64488/problem_64488_img_2.gif"> < 4.

Дан четырёхугольник <i>АВСD</i> площади 1. Из его внутренней точки <i>О</i> опущены перпендикуляры <i>OK, OL, OM</i> и <i>ON</i> на стороны <i>АВ, ВС, CD</i> и <i>DA</i> соответственно. Известно, что  <i>AK ≥ KB,  BL ≥ LC,  CM ≥ MD</i>  и  <i>DN ≥ NA</i>.  Найдите площадь четырёхугольника <i>KLMN</i>.

Может ли объединение двух треугольников оказаться 13-угольником?

Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2<i>ⁿα</i>), ... принимают отрицательные значения?

При каких натуральных <i>n</i> число  <i>n</i>² – 1  является степенью простого числа?

Окружность пересекает оси координат в точках  <i>А</i>(<i>a</i>, 0),  <i>B</i>(<i>b</i>, 0)  <i>C</i>(0, <i>c</i>)  и  <i>D</i>(0, <i>d</i>).  Найдите координаты её центра.

Для каких значений <i>x</i> выполняется неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64479/problem_64479_img_2.gif">