Задача
Даны две непостоянные прогрессии (an) и (bn), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что a1 = b1, a2 : b2 = 2 и
a4 : b4 = 8. Чему может быть равно отношение a3 : b3?
Решение
Пусть a1 = b1 = a ≠ 0, разность арифметической прогрессии равна d ≠ 0, а знаменатель геометрической – q ≠ 1. Возможны два случая.
1) (an) – арифметическая прогрессия, а (bn) – геометрическая. Тогда по условию a + d = 2aq, a + 3d = 8aq³, или d = a(2q – 1),
3d = a(8q³ – 1) = d(4q² + 2q + 1), 2q² + q – 1 = 0, откуда q = ½ или q = – 1.
Если q = ½, то d = a(2q – 1) = 0, что противоречит условию.
Если q = –1, то d = –3a и a3/b3 = a+2d/aq² = –5.
2) (an) – геометрическая прогрессия, а (bn) – арифметическая. Тогда 2(a + d) = aq, 8(a + 3d) = aq³, поэтому
2d = a(q – 2), 24d = a(q³ – 8) = 2d(q² + 2q + 4), q² + 2q – 8 = 0, откуда q = 2 или q = – 4. В первом случае снова d = 0, а во втором q = –4, d = – 3a и a3/b3 = aq²/a+2q = – 16/5.
Ответ
–5 или –3,2.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь