Олимпиадные задачи из источника «2015 год» - сложность 3 с решениями

День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льет дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что 1 января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В 2015 году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе 2015 года?

У Ивана-царевича есть два сосуда емкостью по 1 л, один из которых полностью заполнен обычной водой, а в другом находится <i>a</i> л живой воды,

0 < <i>a</i> < 1.  Он может переливать только из сосуда в сосуд любой объем жидкости до любого уровня без переполнений и хочет за конечное число таких переливаний получить 40-процентный раствор живой воды в одном из сосудов. При каких значениях <i>a</i> Иван-царевич сможет это сделать? Считайте, что уровень жидкости в каждом из сосудов можно точно измерить в любой момент времени.

Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида  <img align="middle" src="/storage/problem-media/65205/problem_65205_img_2.png">  было выполнено равенство  |<i>ad – bc</i>| = 1.

Единичный квадрат разрезан на <i>n</i> треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной ¹/_<i>n</i>.

На основании <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> взяли произвольную точку <i>X</i>, а на боковых сторонах – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>XPBQ</i> – параллелограмм. Докажите, что точка <i>Y</i>, симметричная точке <i>X</i> относительно <i>PQ</i>, лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Проведены высота <i>AH</i> и медиана <i>CM</i>. Обозначим точку их пересечения через <i>P</i>. Высота, проведённая из вершины <i>B</i> треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки <i>H</i> на прямую <i>CM</i>, в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>CQ</i> и <i>BP</i> перпендикулярны.

Клетки бесконечного клетчатого листа бумаги раскрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Пусть <i>X</i> – треугольник площади <i>S</i> с вершинами в узлах сетки. Покажите, что есть такой подобный <i>X</i> треугольник с вершинами в узлах сетки, что площадь его белой части равна площади чёрной части и равна <i>S</i>.

В турнире по футболу участвует 2<i>n</i> команд  (<i>n</i> > 1).  В каждом туре команды разбиваются на <i>n</i> пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели  2<i>n</i> – 1  тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Каждый день Фрёкен Бок испекает квадратный торт размером 3×3. Карлсон немедленно вырезает себе из него четыре квадратных куска размером 1×1 со сторонами, параллельными сторонам торта (не обязательно по линиям сетки 3×3). После этого Малыш вырезает себе из оставшейся части торта квадратный кусок со сторонами, также параллельными сторонам торта. На какой наибольший кусок торта может рассчитывать Малыш вне зависимости от действий Карлсона?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>A</i> = 45°,  проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁. Биссектриса угла <i>BAA</i>₁ пересекает прямую <i>B</i>₁<i>A</i>₁ в точке <i>D</i>, а биссектриса угла <i>CAA</i>₁ пересекает прямую <i>C</i>₁<i>A</i>₁ в точке <i>E</i>. Найдите угол между прямыми <i>BD</i> и <i>CE</i>.

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при эт...