Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Дан треугольник <i>ABC</i>. Проведены высота <i>AH</i> и медиана <i>CM</i>. Обозначим точку их пересечения через <i>P</i>. Высота, проведённая из вершины <i>B</i> треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки <i>H</i> на прямую <i>CM</i>, в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>CQ</i> и <i>BP</i> перпендикулярны.

Клетки бесконечного клетчатого листа бумаги раскрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Пусть <i>X</i> – треугольник площади <i>S</i> с вершинами в узлах сетки. Покажите, что есть такой подобный <i>X</i> треугольник с вершинами в узлах сетки, что площадь его белой части равна площади чёрной части и равна <i>S</i>.

В турнире по футболу участвует 2<i>n</i> команд  (<i>n</i> > 1).  В каждом туре команды разбиваются на <i>n</i> пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели  2<i>n</i> – 1  тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.

По целому числу <i>a</i> построим последовательность  <i>a</i>₁ = <i>a</i>,  <i>a</i>₂ = 1 + <i>a</i>₁,  <i>a</i>₃ = 1 + <i>a</i>₁<i>a</i>₂,  <i>a</i>₄ = 1 + <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃,  ... (каждое следующее число на 1 превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности ее соседних членов  <i>a</i>_<i>n</i>+1 – <i>a_n</i>  – ква...

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при эт...