Задача
Дана бесконечная последовательность чисел a1, ..., an, ... Она периодична с периодом 100, то есть a1 = a101, a2 = a102, ... Известно, что a1 ≥ 0, a1 + a2 ≤ 0, a1 + a2 + a3 ≥ 0 и вообще, сумма a1 + a2 + ... + an неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что |a99| ≥ |a100|.
Решение
Предположим, что a1+...+a100= − ε < 0. ВыберемNтак, что Nε >a1. Тогда 0 ≤a1+ ... +a100N+1=a1−Nε < 0. Противоречие. Следовательно, a1+ ... +a100≥ 0. По условию a1+ ... +a99≥ 0 и a1+ ... +a98≤ 0. Поэтому a100≤ 0 и a99+a100≥ 0; значит, a99≥ 0. Таким образом, |a99| =a99≥ −a100= |a100|.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет