Обозначим через 0 последовательность из одних нулей, через xy – последовательность, получающуюся почленным перемножением последовательностей x и y, через x – последовательность, получающуюся из последовательности x заменой всех нулей на единицы, а единиц – на нули. В этих обозначениях условие задачи записывается следующим образом.

  Выписаны 2^n–1 различных последовательностей x_i  (i = 1,..., 2^n–1)  из нулей и единиц длины n. Известно, что  x_ix_jx_k ≠ 0  для любых i, j, k. Доказать, что в произведении  W = x₁x₂...x_2^n–1  встречается ровно одна единица.

  Заметим сначала, что  x_ix_j ≠ 0  для любых  1 ≤ i, j ≤ 2^n–1.  Следовательно, среди последовательностей x_i не могут одновременно встречаться последовательности y и y. Все последовательности длины n разбиваются на 2^n–1 пар вида  (x, x).  Так как всего последовательностей столько же, сколько и пар, а из каждой пары выписано не более одной последовательности, то из каждой пары выписана ровно одна последовательность.

  Заметим, что если последовательности y и z выписаны, то последовательность yz тоже выписана (в противном случае выписана последовательность yz;  но  yzyz = 0).  Следовательно, произведение любого количества выписанных последовательностей также выписано, а значит, выписана и последовательность W. Поэтому  W ≠ 0.

  Предположим, что в последовательности W есть не менее двух единиц. Тогда во всех выписанных последовательностях на соответствующих местах стоят единицы, а значит, всего выписанных последовательностей не более 2^n–2, что противоречит условию.

Ответ задачи отсутствует