Олимпиадные задачи из источника «1969 год» для 9 класса
Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178710">178710</a>и с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178716">178716</a>.)
В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...
Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
Существует ли такое число <i>h</i>, что ни для какого натурального числа <i>n</i> число [<i>h</i>·1969<sup><i>n</i></sup>] не делится на [<i>h</i>·1969<sup><i>n</i>–1</sup>]?
Дана бесконечная последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... Она периодична с периодом 100, то есть <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>101</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> = <i>a</i><sub>102</sub>, ... Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> ≤ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0 и вообще, сумма <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ....
В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)
Можно ли записать в строку 20 чисел так, чтобы сумма любых <i>трёх</i> последовательных чисел была положительна, а сумма <i>всех</i> 20 чисел была отрицательна?
Белая ладья преследует чёрного коня на доске3×1969 клеток (они ходят по очереди по обычным правилам). Как должна играть ладья, чтобы взять коня? Первый ход делают белые.
Имеется 57 деревянных правильных 57-угольников, прибитых к полу. Всю эту систему мы обтягиваем веревкой. Натянутая веревка будет ограничивать некоторый многоугольник. Доказать, что у него более 56 вершин.
Имеется 1000 деревянных правильных 100-угольников, прибитых к полу. Всю эту систему мы обтягиваем верёвкой. Натянутая верёвка будет ограничивать некоторый многоугольник. Доказать, что у него более 99 вершин.
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Старинный замок был обнесён треугольной стеной. Каждая сторона стены была поделена на три равные части, и в этих точках, а также в вершинах были построены башни. Всего вдоль стены было 9 башен: <i>A, E, F, B, K, L, C, M, N</i>. Со временем все стены и башни, кроме башен <i>E, K, M</i>, разрушились. Как по оставшимся башням определить, где находились башни <i>A, B, C</i>, если известно, что башни <i>A, B, C</i> стояли в вершинах?
Дан треугольник <i>ABC</i>, который можно накрыть одним пятаком. Постройте с помощью пятака четвёртую вершину параллелограмма <i>ABCD</i> (пятак разрешается прикладывать к любым двум точкам и обводить карандашом).
Дан отрезок <i>AB</i>. Найдите на плоскости множество таких точек <i>C</i>, что медиана треугольника <i>ABC</i>, проведённая из вершины <i>A</i>, равна высоте, проведённой из вершины <i>B</i>.