Олимпиадные задачи из источника «1963 год» для 9-11 класса - сложность 2 с решениями

Доказать, что из одиннадцати произвольных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две дроби, разность которых имеет в десятичной записи либо бесконечное число нулей, либо бесконечное число девяток.

Доказать, что не существует попарно различных натуральных чисел <i>x, y, z, t</i>, для которых было бы справедливо соотношение  <i>x^x + y^y = z^z + t^t</i>.

Доказать, что при нечётном <i>n</i> > 1 уравнение  <i>xⁿ + yⁿ = zⁿ</i>  не может иметь решений в целых числах, для которых  <i>x + y</i>  – простое число.

В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.

В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?

Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке <i>A</i> и с концами на прямой <i>l</i>, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.

Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>. Найти множество всех таких точек<i>M</i>, что перпендикуляры к прямым<i>AM</i>,<i>BM</i>,<i>CM</i>, проведённые из точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>(соответственно), пересекаются в одной точке.

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>abc</i> > 0  и  <i>a + b + c</i> > 0.  Доказать, что  <i>aⁿ + bⁿ + cⁿ</i> > 0  при любом натуральном <i>n</i>.

Из любых шести точек на плоскости (из которых никакие три не лежат на одной прямой) можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший30^<tt>o</tt>. Доказать.

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший45^<tt>o</tt>. Доказать. (Сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78481">задачей 2 для 10 класса</a>.)

<i>a, b, c</i> – любые положительные числа. Доказать, что   <img width="41" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78478/problem_78478_img_2.gif"> + <img width="43" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78478/problem_78478_img_3.gif"> + <img width="43" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78478/problem_78478_img_4.gif"> ≥ ³/₂.

Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.

Лист клетчатой бумаги размером 5×<i>n</i> заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких <i>n</i> это возможно?

На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.

Решить в целых числах уравнение   <i>^xy</i>/<i>_z + ^xz</i>/<i>_y + ^yz</i>/<i>_x</i> = 3.

Даны выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>площади<i>s</i>и точка<i>M</i>внутри него. Точки<i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>,<i>S</i>симметричны точке<i>M</i>относительно середин сторон четырёхугольника<i>ABCD</i>. Найти площадь четырёхугольника<i>PQRS</i>.

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>  – такие числа, что  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   <i>S = a</i>₁<i>a</i>₂ + <i>a</i>₁<i>a</i>₃ + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>a_n</i> ≤ 0

(в сумму <i>S</i> входят все возможные произведения <i>a_ia_j,...