Олимпиадные задачи из источника «Математический праздник» для 6 класса

Лиса Алиса и кот Базилио вырастили на дереве 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифре "1" или "2" (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио. Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса. Какое наибольшее количество купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?

Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116965/problem_116965_img_2.gif"></div>

Дима увидел в музее странные часы (см. рисунок). Они отличаются от обычных часов тем, что на их циферблате нет цифр и вообще непонятно, где у часов верх; да ещё секундная, минутная и часовая стрелки имеют одинаковую длину. Какое время показывали часы?

(Стрелки А и Б на рисунке смотрят ровно на часовые отметки, а стрелка В чуть-чуть не дошла до часовой отметки.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116964/problem_116964_img_2.gif"></div>

Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял 1 семечку, второй – 2, третий – 3 и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?

В квадрате закрашена часть клеток, как показано на рисунке. Разрешается перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно. Клетки, которые при перегибании совмещаются с закрашенными, тоже закрашиваются. Можно ли закрасить весь квадрат:

  а) за 5 или менее;

  б) за 4 или менее;

  в) за 3 или менее таких перегибания?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116962/problem_116962_img_2.gif"></div>

Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить всё жалованье между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдаёт Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если:

  а) жалованье между отрядами Черномор распределяет как ему угодно;

  б) жалованье между отрядами Черномор распределяет поровну?

Малый и Большой острова имеют прямоугольную форму и разделены на прямоугольные графства. В каждом графстве проложена дорога по одной из диагоналей. На каждом острове эти дороги образуют замкнутый путь, который ни через какую точку не проходит дважды. Вот как устроен Малый остров, где всего шесть графств (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116959/problem_116959_img_2.gif"></div>Нарисуйте, как может быть устроен Большой остров, если на нём нечётное число графств. Сколько графств у вас получилось?

13 детей сели за круглый стол и договорились, что мальчики будут врать девочкам, а друг другу говорить правду, а девочки, наоборот, будут врать мальчикам, а друг другу говорить правду. Один из детей сказал своему правому соседу: "Большинство из нас мальчики". Тот сказал своему правому соседу: "Большинство из нас девочки", а он своему соседу справа: "Большинство из нас мальчики", а тот своему: "Большинство из нас девочки" и так далее, пока последний ребёнок не сказал первому: "Большинство из нас мальчики". Сколько мальчиков было за столом?

Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?

Вот ребус довольно простой:

ЭХ вчетверо больше, чем ОЙ.

АЙ вчетверо больше, чем ОХ.

Найди сумму всех четырёх.

Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число.

Может ли быть так, что никто из них не ошибся?

Победив Кащея, потребовал Иван золота, чтобы выкупить Василису у разбойников. Привёл его Кащей в пещеру и сказал: "В сундуке лежат золотые слитки. Но просто так их унести нельзя: они заколдованы. Переложи себе в суму один или несколько. Потом я переложу из сумы в сундук один или несколько, но обязательно другое число. Так мы будем по очереди перекладывать их: ты в суму, я в сундук, каждый раз новое число. Когда новое перекладывание станет невозможным, сможешь унести свою суму со слитками". Какое наибольшее число слитков может унести Иван, как бы ни действовал Кащей, если в сундуке исходно лежит  а) 13;  б) 14 золотых слитков? Как ему это сделать?

Вася написал верное утверждение:

  "В этой фразе 1/3 всех цифр – цифры 3, а 1/2 всех цифр – цифры 1".

А Коля написал фразу:

  "В этой фразе 1/... всех цифр – цифры *, доли цифр * и * одинаковы и равны 1/..., а доля всех остальных цифр составляет 1/...".

Вставьте вместо звёздочек три разные цифры, а вместо многоточий – три разных числа так, чтобы получилось верное утверждение.

На каждом из двух рукавов реки за километр до их слияния стоит по пристани, а ещё одна пристань стоит в 2 километрах после слияния (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116611/problem_116611_img_2.gif"></div>Лодка добралась от одной из пристаней до другой (неизвестно, какой) за 30 минут, от другой до третьей за 18 минут. За сколько минут она может добраться от третьей пристани до первой? (Скорость течения реки постоянна и одинакова во всех её частях. Собственная скорость лодки также постоянна.)

Квадрат разрезали на несколько частей. Переложив эти части, из них всех сложили треугольник. Затем к этим частям добавили еще одну фигурку – и оказалось, что и из нового набора фигурок можно сложить как квадрат, так и треугольник. Покажите, как такое могло бы произойти (нарисуйте, как именно эти два квадрата и два треугольника могли бы быть составлены из фигурок).

Квадрат 3×3 заполнен цифрами так, как показано на рисунке слева. Разрешается ходить по клеткам этого квадрата, переходя из клетки в соседнюю (по стороне), но ни в какую клетку не разрешается попадать дважды.

<div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/116609/problem_116609_img_2.gif"></div> Петя прошёл, как показано на рисунке справа, и выписал по порядку все цифры, встретившиеся по пути, – получилось число 84937561. Нарисуйте другой путь так, чтобы получилось число побольше (чем больше, тем лучше).

Известно, что Шакал всегда лжёт, Лев говорит правду, Попугай просто повторяет последний услышанный ответ (а если его спросить первым, ответит как попало), а Жираф дает честный ответ, но на предыдущий заданный ему вопрос (а на первый вопрос отвечает как попало). Мудрый Ёжик в тумане наткнулся на Шакала, Льва, Попугая и Жирафа и решил выяснить, в каком порядке они стоят. Спросив всех по очереди "Ты Шакал?", он понял только лишь, где Жираф. Спросив всех в том же порядке: "Ты Жираф?", он смог ещё понять, где Шакал, но полной ясности так и не наступило. И лишь после того как на вопрос "Ты Попугай?" первый ответил "Да", Ежу, наконец, стало ясно, в каком порядке стояли животные. Так в каком же?

("Как попало" означает, что один из ответов "Д...

Замените в равенстве   ПИРОГ = КУСОК + КУСОК + КУСОК + ... + КУСОК   одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные – разными так, чтобы равенство было верным, а количество "кусков пирога" было бы наибольшим из возможных.

Торт упакован в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать её с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116606/problem_116606_img_2.gif"></div>

Жители острова Невезения, как и мы с вами, делят сутки на несколько часов, час на несколько минут, а минуту на несколько секунд. Но у них в сутках 77 минут, а в часе 91 секунда. Сколько секунд в сутках на острове Невезения?

Пазл Пете понравился, он решил его склеить и повесить на стену. За одну минуту он склеивал вместе два куска (начальных или ранее склеенных). В результате весь пазл соединился в одну цельную картину за 2 часа. За какое время собралась бы картина, если бы Петя склеивал вместе за минуту не по два, а по три куска?

Разрежьте рамку (см. рис.) на 16 равных частей. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116603/problem_116603_img_2.gif"></div>

Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности.

Какова площадь поверхности невидимого бруска?

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116065/problem_116065_img_2.gif"> </i></center>

Дракон запер в пещере шестерых гномов и сказал: "У меня есть семь колпаков семи цветов радуги. Завтра утром я завяжу вам глаза и надену на каждого по колпаку, а один колпак спрячу. Затем сниму повязки, и вы сможете увидеть колпаки на головах у других, но общаться я вам уже не позволю. После этого каждый втайне от других скажет мне цвет спрятанного колпака. Если угадают хотя бы трое, всех отпущу. Если меньше – съем на обед". Как гномам заранее договориться действовать, чтобы спастись?

Найдите все решения ребуса  Я + ОН + ОН + ОН + ОН + ОН + ОН + ОН + ОН = МЫ.

(Одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными разные.)