Олимпиадные задачи из источника «2000 год»

В вершинах куба<i>ABCDEFGH</i>расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в которых отличаются не более чем на единицу. (Пары диаметрально противоположных вершин куба: <i>A</i> и <i>G</i>, <i>B</i> и <i>H</i>, <i>C</i> и <i>E</i>, <i>D</i> и <i>F</i>.)

<img src="/storage/problem-media/103857/problem_103857_img_2.gif">

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

Дан прямоугольный треугольник (см. рисунок). Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами. <img src="/storage/problem-media/103855/problem_103855_img_2.gif">

Карлсон написал дробь ¹⁰/₉₇. Малыш может:

  1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,

  2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,

  а) равную ½?  б) равную 1?

В одной из вершин куба<i>ABCDEFGH</i>сидит заяц, но охотникам он не виден. Три охотника стреляют залпом, при этом они могут ''поразить'' любые три вершины куба. Если они не попадают в зайца, то до следующего залпа заяц перебегает в одну из трёх соседних (по ребру) вершин куба. Укажите, как стрелять охотникам, чтобы обязательно попасть в зайца за четыре залпа. (В решении достаточно написать четыре тройки вершин, в которые последовательно стреляют охотники.)

<img src="/storage/problem-media/103852/problem_103852_img_2.gif">

Зачеркните все 13 точек на рисунке пятью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды. <img src="/storage/problem-media/103851/problem_103851_img_2.gif">

Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быстрее открыть замок.

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

В записи1248163264 = 27 вместо знаков '''' поставьте знаки ''+'' или ''-'' так, чтобы равенство стало верным.