Олимпиадные задачи из источника «1974 год» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> и <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |<i>bc – ad</i>| = 1.
Дан треугольник <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub><i>O</i>. В нём проводится биссектриса <i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub>, затем в треугольнике <i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub><i>O</i> – биссектриса <i>C</i><sub>3</sub><i>C</i><sub>4</sub> и так далее.
Докажите, что последовательность величин углов γ<i><sub>n</sub> = C</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>C<sub>n</sub>O</i> стремится к пределу, и найдите этот предел, если <i>C</i><sub>1</sub><i>OC</i><...
На отрезке [0; 1] задана<nobr>функция <i>f</i>.</nobr>Эта функция во всех точках неотрицательна,<nobr><i>f</i>(1) = 1,</nobr>наконец, для любых двух неотрицательных чисел<i>x</i><sub>1</sub>и<i>x</i><sub>2</sub>, сумма которых не<nobr>превосходит 1,</nobr>величина<nobr><i>f</i> (<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub>)</nobr>не превосходит суммы величин<nobr><i>f</i>(<i>x</i><sub>1</sub>)</nobr>и<nobr><i>f</i>(<i>x</i><sub>2</sub>).</nobr>а) Докажите для любого числа <i>x</i> отрезка [0; 1] неравенство...
Обозначим через <i>T<sub>k</sub></i>(<i>n</i>) сумму произведений по <i>k</i> чисел от 1 до <i>n</i>. Например, <i>T</i><sub>2</sub>(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
а) Найдите формулы для <i>T</i><sub>2</sub>(<i>n</i>) и <i>T</i><sub>3</sub>(<i>n</i>).
б) Докажите, что <i>T<sub><i>k</i></sub></i>(<i>n</i>) является многочленом от <i>n</i> степени 2<i>k</i>.
в) Укажите метод нахождения многочленов <i>T</i><sub><i>k</i></sub>(<i>n</i>) при <i>k</i> = 2, 3, 4, ... и примените его для о...
Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?
При каких натуральных <i>n</i> ≥ 2 неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73792/problem_73792_img_2.gif"> выполняется для любых действительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, если
а) <i>p</i> = 1;
б) <i>p</i> = <sup>4</sup>/<sub>3</sub>;
в) <i>p</i> = <sup>6</sup>/<sub>5</sub>?
Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111<nobr>(100 единиц)</nobr>с точностью до<nobr>а) 100;</nobr><nobr>б) 101;</nobr><nobr>в)* 200</nobr>знаков после запятой.