Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 3-8 класса - сложность 4-5 с решениями

В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.

Многоугольник (не обязательно выпуклый), вырезанный из бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеиваются. Может ли периметр полученного многоугольника быть больше, чем периметр исходного?

Отрезок <i>KL</i>проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника <i>ABCD</i>, а концы его лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>KL</i>не превосходит длины одной из диагоналей.

Внутри квадрата со стороной 100 расположена ломаная <i>L</i>, обладающая тем свойством, что любая точка квадрата удалена от <i>L</i>не больше чем на 0, 5. Докажите, что на <i>L</i>есть две точки, расстояние между которыми не больше 1, а расстояние по <i>L</i>между ними не меньше 198.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено <i>n</i>²точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2<i>n</i>.

В квадрате со стороной 1 расположена ломаная длиной <i>L</i>. Известно, что каждая точка квадрата удалена от некоторой точки этой ломаной меньше чем на $\varepsilon$. Докажите, что тогда <i>L</i>$\geq$${\frac{1}{2\varepsilon }}$-${\frac{\pi\varepsilon }{2}}$.

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Пусть дан выпуклый (2<i>n</i>+ 1)-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₃<i>A</i>₅...<i>A</i>_{2n + 1}<i>A</i>₂...<i>A</i>_2n. Докажите, что среди всех замкнутых ломаных с вершинами в его вершинах наибольшую длину имеет ломаная <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A</i>_{2n + 1}<i>A</i>₁.

На плоскости даны <i>n</i>красных и <i>n</i>синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести <i>n</i>отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>²<i>b</i>(<i>a</i> - <i>b</i>) + <i>b</i>²<i>c</i>(<i>b</i> - <i>c</i>) + <i>c</i>²<i>a</i>(<i>c</i> - <i>a</i>) $\displaystyle \geq$ 0. </div>

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> (<i>a</i> + <i>b</i> - <i>c</i>)(<i>a</i> - <i>b</i> + <i>c</i>)(- <i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i>) $\displaystyle \leq$ <i>abc</i>. </div>

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

На столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов.

На плоскости даны <i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести <i>n</i> отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.