Введем новые переменные x= (-a+b+c)/2,y= (a-b+c)/2 и z= (a+b-c)/2. Тогда числа x,y,zположительны и a=y+z,b=x+z,c=x+y. Несложные, но несколько громоздкие вычисления показывают, что a²b(a-b) +b²c(b-c) +c²a(c-a) = 2(x³z+y³x+z³y-xyz(x+y+z)) = 2xyz$\Bigl($${\frac{x^2}{y}}$+${\frac{y^2}{z}}$+${\frac{z^2}{x}}$-x-y-z$\Bigr)$. Так как 2$\leq$${\frac{x}{y}}$+${\frac{y}{x}}$, то 2x$\leq$x$\left(\vphantom{\frac xy+ \frac yx}\right.$${\frac{x}{y}}$+${\frac{y}{x}}$$\left.\vphantom{\frac xy+ \frac yx}\right)$=${\frac{x^2}{y}}$+y. Аналогично 2y$\leq$y$\left(\vphantom{\frac yz+ \frac zy}\right.$${\frac{y}{z}}$+${\frac{z}{y}}$$\left.\vphantom{\frac yz+ \frac zy}\right)$=${\frac{y^2}{z}}$+zи 2z$\leq$z$\left(\vphantom{\frac zx+ \frac xz}\right.$${\frac{z}{x}}$+${\frac{x}{z}}$$\left.\vphantom{\frac zx+ \frac xz}\right)$=${\frac{z^2}{x}}$+x. Складывая эти неравенства, получаем ${\frac{x^2}{y}}$+${\frac{y^2}{z}}$+${\frac{z^2}{x}}$$\geq$x+y+z.

Ответ задачи отсутствует