Первое решение.Введем новые переменные x= -a+b+c,y=a-b+c,z=a+b-c. Тогда a= (y+z)/2,b= (x+z)/2,c= (x+y)/2, т. е. нужно доказать неравенство xyz$\leq$(x+y)(y+z)(x+z)/8 или 6xyz$\leq$x(y²+z²) +y(x²+z²) +z(x²+y²). Последнее неравенство следует из того, что 2xyz$\leq$x(y²+z²), 2xyz$\leq$y(x²+z²), 2xyz$\leq$z(x²+y²), так как x,y,z — положительные числа.

Второе решение.Так как 2S=absin$\gamma$и sin$\gamma$=c/2R, то abc= 4SR. По формуле Герона (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) = 8S²/p. Поэтому нужно доказать, что 8S²/p$\leq$4SR, т. е. 2S$\leq$pR. Так как S=pr, приходим к неравенству 2r$\leq$R(см. задачу 10.26).

Ответ задачи отсутствует