Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями
глава 6. Многоугольники
НазадПравильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i> ctg <sup>π</sup>/<sub>2<i>n</i></sub>;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно <i>n</i><sup><i>n</i>/2</sup>.
В правильном восемнадцатиугольнике <i>A</i><sub>0</sub>...<i>A</i><sub>17</sub> проведены диагонали <i>A</i><sub>0</sub><i>A</i><sub><i>p</i>+3</sub>, <i>A</i><sub><i>p</i>+1</sub><i>A</i><sub>18–<i>r</i></sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub><i>p</i>+<i>q</i>+3</sub>.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
а) {<i>p, q, r</i>} = {1, 3, 4},
б) {<i>p, q, r</i>} = {2, 2, 3}.
а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника<i>ABCDEF</i>попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>равны. б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.
Пусть $\alpha$=$\pi$/7. Докажите, что ${\frac{1}{\sin\alpha }}$=${\frac{1}{\sin 2\alpha }}$+${\frac{1}{\sin 3\alpha }}$.
Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.