Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Теорема Менелая» для 9-10 класса - сложность 4-5 с решениями
параграф 7. Теорема Менелая
НазадДиагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>шестиугольника<i>ABCDEF</i>пересекаются в одной точке. Пусть<i>A'</i> — точка пересечения прямых<i>AC</i>и<i>FB</i>,<i>B'</i> — точка пересечения<i>BD</i>и<i>AC</i>,<i>C'</i> — точка пересечения<i>CE</i>и<i>BD</i>. Докажите, что точки пересечения прямых<i>A'B'</i>и<i>D'E'</i>,<i>B'C'</i>и<i>E'F'</i>,<i>C'D'</i>и<i>F'A'</i>лежат на одной прямой.
На прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Пусть<i>P</i><sub>1</sub> — произвольная точка прямой <i>BC</i>,<i>P</i><sub>2</sub> — точка пересечения прямых<i>P</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>и<i>AB</i>,<i>P</i><sub>3</sub> — точка пересечения прямых<i>P</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>1</sub>и<i>CA</i>,<i>P</i><sub>4</sub> — точка пересечения<i>P</i><sub>3</sub><...
а) Через точки <i>P</i>и <i>Q</i>проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. Докажите, что прямые <i>KL</i>,<i>AC</i>и <i>MN</i>пересекаются в одной точке (или параллельны). б) Докажите, далее, что если точка <i>O</i>лежит на прямой <i>BD</i>, то точка пересечения прямых <i>KL</i>,<i>AC</i>и <i>MN</i>лежит на прямой <i>PQ</i>.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56911/problem_56911_img_2.gif" border="1"></div>
Продолжения сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а продолжения сторон <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Через точку <i>P</i>проведена прямая, пересекающая стороны <i>BC</i>и <i>AD</i>в точках <i>E</i>и <i>F</i>. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников <i>ABCD</i>,<i>ABEF</i>и <i>CDFE</i>лежат на прямой, проходящей через точку <i>Q</i>.
На сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>(или на их продолжениях) взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>и <i>M</i>. Прямые <i>KL</i>и <i>AC</i>пересекаются в точке <i>P</i>, <i>LM</i>и <i>BD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>KQ</i>и <i>MP</i>лежит на прямой <i>AD</i>.
На одной прямой взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, а на другой — точки <i>A</i><sub>2</sub>,<i>B</i><sub>2</sub>и <i>C</i><sub>2</sub>. Прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>и <i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>и <i>C</i>&...
Прямые <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>,<i>CC</i><sub>1</sub>пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>BC</i>и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>AC</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>лежат на одной прямой (Дезарг).
На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>, лежащие на одной прямой. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$<sup> . </sup>$\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$<sup> . </sup>$\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$<sup> . </sup>$\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1. </div>
На прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, причем точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямым <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>относительно соответствующих биссектрис треугольника <i>ABC</i>, пересекают прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i><sub>2</sub>,<i>B</i><...
Из вершины <i>C</i>прямого угла треугольника <i>ABC</i>опущена высота <i>CK</i>, и в треугольнике <i>ACK</i>проведена биссектриса <i>CE</i>. Прямая, проходящая через точку <i>B</i>параллельно <i>CE</i>, пересекает <i>CK</i>в точке <i>F</i>. Докажите, что прямая <i>EF</i>делит отрезок <i>AC</i>пополам.
а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе <i>AD</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>BC</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>BE</i>:<i>CE</i>=<i>c</i><sup>2</sup>:<i>b</i><sup>2</sup>. б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон лежат на одной прямой.
Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156934">5.85</a>, а) с помощью теоремы Менелая.
Касательные к описанной окружности неравнобедренного треугольника<i>ABC</i>в точках<i>A</i>,<i>B</i>и<i>C</i>пересекают продолжения сторон в точках<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>лежат на одной прямой.=-1
а) В треугольнике<i>ABC</i>проведены биссектрисы внешних углов<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и<i>CC</i><sub>1</sub>(точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>лежат на прямых<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>). Докажите, что точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>лежат на одной прямой. б) В треугольнике<i>ABC</i>проведены биссектрисы<i>AA</i><sub>1</sub>и<i>BB</i><sub>1</sub>и биссектриса внешнего угла<i>CC&...
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>соответственно. Докажите, что точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\overline{BA_1}}{\overline{CA_1}}}$<sup> . </sup>$\displaystyle {\frac{\overline{CB_1}}{\overline{AB_1}}}$<sup> . </sup>$\displaystyle {\frac{\overline{AC_1}}{\overline{BC_1}}}$ = 1 (<i>теорема Менел...