Олимпиадные задачи из источника «глава 30. Проективные преобразования» для 8 класса

Даны прямая <i>l</i>, окружность и точка <i>M</i>, лежащая на окружности и не лежащая на прямой <i>l</i>. Пусть<i>P</i>_M — проектирование прямой<i>l</i>на данную окружность из точки<i>M</i>(точка <i>X</i>прямой отображается в отличную от <i>M</i>точку пересечения прямой<i>XM</i>с окружностью),<i>R</i> — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция<i>P</i>_M^-1<tt>o</tt><i>R</i><tt>o</tt><i>P</i>_Mявляется прое...

Даны прямая <i>l</i>, окружность и точки <i>M</i>,<i>N</i>, лежащие на окружности и не лежащие на прямой <i>l</i>. Рассмотрим отображение <i>P</i>прямой <i>l</i>на себя, являющееся композицией проектирования прямой <i>l</i>на данную окружность из точки <i>M</i>и проектирования окружности на прямую <i>l</i>из точки <i>N</i>. (Если точка <i>X</i>лежит на прямой <i>l</i>, то<i>P</i>(<i>X</i>) есть пересечение прямой<i>NY</i>с прямой <i>l</i>, где <i>Y</i> — отличная от <i>M</i>точка пересечения прямой<i>MX</i>с данной окружностью.) Докажите, что преобразование <i&gt...

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат на одной прямой. Докажите, что если (<i>ABCD</i>) = 1, то либо<i>A</i>=<i>B</i>, либо<i>C</i>=<i>D</i>.

Докажите, что преобразование <i>P</i>числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$, </div>где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — такие числа, что<i>ad</i>-<i>bc</i>$\ne$0. (Такие отображения называют<i>дробно-линейными</i>.)

Дано отображение прямой <i>a</i>на прямую <i>b</i>, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

Докажите, что если(<i>ABCX</i>) = (<i>ABCY</i>), то<i>X</i>=<i>Y</i>(все точки попарно различны, кроме, быть может, точек <i>X</i>и <i>Y</i>, и лежат на одной прямой).

а) Даны прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, проходящие через одну точку, и прямая <i>l</i>, через эту точку не проходящая. Пусть <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i> — точки пересечения прямой <i>l</i>с прямыми <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>соответственно. Докажите, что(<i>abcd</i>)= (<i>ABCD</i>). б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

Докажите, что существует проективное отображение, которое три данные точки одной прямой переводит в три данные точки другой прямой.

Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>