Олимпиадные задачи из источника «глава 18. Поворот» для 8 класса
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.
Дан треугольник<i>ABC</i>. На его сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>построены внешним образом квадраты<i>ABMN</i>и <i>BCPQ</i>. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков<i>MQ</i>и <i>AC</i>образуют квадрат.
На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата:<i>ABCD</i>,<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>CD</i><sub>2</sub>; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины <i>A</i>и <i>C</i>. Докажите, что медиана<i>BM</i>треугольника<i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>перпендикулярна отрезку<i>D</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>2</sub>.
На сторонах <i>CB</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что периметр треугольника <i>CMK</i> равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла <i>MAK</i>.
Два квадрата<i>BCDA</i>и <i>BKMN</i>имеют общую вершину <i>B</i>. Докажите, что медиана<i>BE</i>треугольника<i>ABK</i>и высота<i>BF</i>треугольника<i>CBN</i>лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)
В треугольнике<i>ABC</i>проведены медиана<i>CM</i>и высота<i>CH</i>. Прямые, проведенные через произвольную точку <i>P</i>плоскости перпендикулярно<i>CA</i>,<i>CM</i>и <i>CB</i>, пересекают прямую<i>CH</i>в точках <i>A</i><sub>1</sub>,<i>M</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что<i>A</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>1</sub>=<i>B</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>1</sub>.
На сторонах<i>BC</i>и <i>CD</i>квадрата<i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>K</i>соответственно, причем$\angle$<i>BAM</i>=$\angle$<i>MAK</i>. Докажите, что<i>BM</i>+<i>KD</i>=<i>AK</i>.
На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub> взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i><sub>1</sub> опущен перпендикуляр на <i>A</i><sub>2</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>2</sub> — перпендикуляр на <i>A</i><sub>3</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>3</sub> — на <i>A</i><sub>4</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>4</sub> — на <i>A</i><sub>1</sub><i>P</i>. Докажите...
На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что <i>AP = BP + CP</i>.