Задача
На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла MAK.
Решение
Решение 1:Повернём треугольник ABM вокруг точки A на 90° так, чтобы вершина B перешла в D. Пусть M' – образ точки M при этом повороте. Так как по условию
MK + MC + CK = (BM + MC) + (CK + KD), то MK = BM + KD = KM'. Кроме того, AM = AM', поэтому треугольники AMK и AM'K равны, а значит,
∠MAK = ∠M'AK = ½ ∠MAM' = 45°.
Решение 2:Рассмотрим вневписанную окружность треугольника CMK, касающуюся снаружи стороны MK в точке P. Как известно, она касается продолжений сторон CM и CK в точках, отстоящих от вершины C на полупериметр, то есть в точках B и D. Значит, A – её центр, поэтому ∠MAP = ∠MAB, ∠KAP = ∠KAD и
∠MAK = ½ ∠BAD.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь