Задача
На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
Решение
Пусть P, Q, R и S — центры квадратов, построенных соответственно на сторонах AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD. Рассмотрим поворот на угол 90o вокруг точки Q, переводящий вершину B в вершину C, и поворот на угол 90o вокруг точки R, переводящий C в D. Композиция этих поворотов есть поворот на угол 180
circ, т.е. центральная симметрия. Центр этой симметрии, точка O, — середина отрезка BD, т.к. при рассматриваемой композиции поворотов точка B переходит в D.
Если Q1 — образ точки Q при этой композиции, то отрезок QQ1 проходит через точку O и делится ею пополам. Поэтому RO — высота равнобедренного прямоугольного треугольника QRQ1, и ROQ — также равнобедренный прямоугольный треугольник.
Аналогично докажем, что SOP — равнобедренный прямоугольный треугольник.
Следовательно, при повороте на угол 90o вокруг точки O, переводящем точку Q в точку R, точка S переходит в точку P, а отрезок QS — в отрезок RP. Поэтому указанные отрезки равны и перпендикулярны.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь