Олимпиадные задачи из источника «глава 17. Осевая симметрия» - сложность 4-5 с решениями
Пусть движение плоскости переводит фигуру<i>F</i>в фигуру<i>F'</i>. Для каждой пары соответственных точек<i>A</i>и<i>A'</i>рассмотрим середину<i>X</i>отрезка<i>AA'</i>. Докажите, что либо все точки<i>X</i>совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную<i>F</i>.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i>=<i>S</i><sub>AC</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>AB</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>BC</sub>является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину2<i>R</i>sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$, где<i>R</i>— радиус описанной окружности,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$— углы данного треугольника.
Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.
Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.
Докажите, что любое движение первого рода является поворотом или параллельным переносом.
Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.
Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, одна из сторон которого проходит через данную точку, а остальные стороны параллельны данным прямым.
Дано <i>n</i>прямых. Постройте<i>n</i>-угольник, для которого эти прямые являются: а) серединными перпендикулярами к сторонам; б) биссектрисами внешних или внутренних углов при вершинах.
а) Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого параллельны заданным <i>n</i>прямым. б) Через центр <i>O</i>окружности проведено <i>n</i>прямых. Постройте описанный около окружности<i>n</i>-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.
Две прямые пересекаются под углом $\gamma$. Кузнечик прыгает с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда$\gamma$/$\pi$ — рациональное число.
В данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра.