Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» для 2-10 класса - сложность 1 с решениями

Найдите все треугольники, у которых углы образуют арифметическую прогрессию, а стороны: а) арифметическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию.

Даны две пересекающиеся окружности радиуса <i>R</i>, причем расстояние между их центрами больше <i>R</i>. Докажите, что β = 3α (рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/57633/problem_57633_img_2.gif" border="1"></div>

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что cos$\alpha$+ cos$\beta$+ cos$\gamma$= (<i>R</i>+<i>r</i>)/<i>R</i>.

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) cos($\alpha$/2)sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2) = (<i>p</i>-<i>a</i>)/4<i>R</i>; б) sin($\alpha$/2)cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2) =<i>r</i>_a/4<i>R</i>.

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) sin($\alpha$/2)sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2) =<i>r</i>/4<i>R</i>; б) <i>tg</i>($\alpha$/2)<i>tg</i>($\beta$/2)<i>tg</i>($\gamma$/2) =<i>r</i>/<i>p</i>; в) cos($\alpha$/2)cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2) =<i>p</i>/4<i>R</i>.

Докажите, что <i>h</i>_a=<i>bc</i>/2<i>R</i>.

Докажите, что${\frac{a+b-c}{a+b+c}}$=<i>tg</i>$\left(\vphantom{\frac{\alpha }{2}}\right.$${\frac{\alpha }{2}}$$\left.\vphantom{\frac{\alpha }{2}}\right)$<i>tg</i>$\left(\vphantom{\frac{\beta }{2}}\right.$${\frac{\beta}{2}}$$\left.\vphantom{\frac{\beta }{2}}\right)$.

Докажите, что ${\frac{1}{ab}}$+${\frac{1}{bc}}$+${\frac{1}{ca}}$=${\frac{1}{2Rr}}$.

Докажите, что <i>abc</i>= 4<i>prR</i>и <i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>=<i>r</i>²+<i>p</i>²+ 4<i>rR</i>.

Докажите, что: а) <i>rp</i>=<i>r</i>_a(<i>p</i>-<i>a</i>),<i>rr</i>_a= (<i>p</i>-<i>b</i>)(<i>p</i>-<i>c</i>) и <i>r</i>_b<i>r</i>_c=<i>p</i>(<i>p</i>-<i>a</i>); б) <i>S</i>²=<i>p</i>(<i>p</i>-<i>a</i>)(<i>p</i>-<i>b</i>)(<i>p</i>-<i>c</i>)     (<i>формула Герона</i>); в) <i>S</i>²=<i>rr</i>_a<i>r</i>_b<i&...

Докажите, что: а) <i>a</i>=<i>r</i>(<i>ctg</i>($\beta$/2) +<i>ctg</i>($\gamma$/2)) =<i>r</i>cos($\alpha$/2)/(sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2)); б) <i>a</i>=<i>r</i>_a(<i>tg</i>($\beta$/2) +<i>tg</i>($\gamma$/2)) =<i>r</i>_acos($\alpha$/2)/(cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2)); в) <i>p</i>-<i>b</i>=<i>rctg</i>($\beta$/2) =<i>r</i>_a<i>tg</i>($\gamma$/2); г) <i>p</i>=<i>r</i>_a<i>ctg</i>($\alpha$/2).

Докажите, что cos²($\alpha$/2) =<i>p</i>(<i>p</i>-<i>a</i>)/<i>bc</i>и sin²($\alpha$/2) = (<i>p</i>-<i>b</i>)(<i>p</i>-<i>c</i>)/<i>bc</i>.

Докажите, что 4<i>S</i>= (<i>a</i>²- (<i>b</i>-<i>c</i>)²)<i>ctg</i>($\alpha$/2).

Выразите площадь треугольника <i>ABC</i>через длину стороны <i>BC</i>и величины углов <i>B</i>и <i>C</i>.

Точка <i>D</i>лежит на основании <i>AC</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников <i>ABD</i>и <i>CBD</i>равны.

Докажите, что площадь <i>S</i>треугольника равна <i>abc</i>/4<i>R</i>.