Олимпиадные задачи из источника «Иванов С.В., Математический кружок» для 6 класса - сложность 2-5 с решениями

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.

Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

Несколько человек построились в два ряда. Каждый во втором ряду выше стоящего перед ним. Доказать, что если каждый ряд построить по росту, то это свойство сохранится.

Несколько человек стоят прямоугольником. В каждой шеренге выбрали самого нижнего, в каждом ряду самого высокого. Кто выше: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?

В поселке 100 домов. Какое наибольшее число замкнутых не пересекающихся заборов можно построить, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали бы одну и ту же совокупность домов?

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (<i>k</i>+1)-м – те, кто были в <i>k</i>-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

Имеется бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами. Доказать, что найдётся член, в котором есть 100 девяток подряд.

В прямоугольнике 3×<i>n</i> стоят фишки трёх цветов, по <i>n</i> штук каждого цвета.

Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.

В центре куба<img width="69" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31367/problem_31367_img_2.gif">сидит жук. Доказать, что он, переползая через ребра, не сможет обойти все кубики<img width="69" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31367/problem_31367_img_3.gif">по одному разу.

Матч между двумя футбольными командами закончился со счетом 8:5. Доказать, что был момент, когда первая команда забила столько же мячей, сколько второй оставалось забить.

12 команд сыграли турнир по волейболу в один круг. Две команды одержали ровно по 7 побед.

Доказать, что найдутся такие команды <i>А, В, С</i>, что <i>А</i> выиграла у <i>В, В</i> выиграла у <i>С</i>, а <i>С</i> – у <i>А</i>.

В 15-этажном доме имеется лифт с двумя кнопками: "+7" и "–9" (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/131354">131354</a>). Можно ли проехать с 3-го этажа на 12-й?

Лифт в 100-этажном доме имеет 2 кнопки: "+7" и "–9" (первая поднимает лифт на 7 этажей, вторая опускает на 9).Можно ли проехать:

  a) с 1-го на 2-й;

  б) со 2-го на 1-й;

  в) с любого на любой этаж?

В автобусе едут 20 пассажиров, и у каждого много монет по 10, 15 и 20 копеек. Каждый должен заплатить 5 копеек.

Могут ли они сделать это, использовав (в том числе и для обмена между собой)   а) 24 монеты;   б) 25 монет?

В комнате стоят несколько четырёхногих стульев и трёхногих табуреток. Когда на всех стульях и табуретках сидит по человеку, в комнате всего 39 ног. Сколько в комнате стульев и сколько табуреток?

<i>a</i> – фиксированное натуральное число. Доказать, что уравнение  <i>x</i>! = <i>y</i>² + <i>a</i>²  имеет лишь конечное число решений в натуральных числах.

Разложить на множители выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z$.

Решить в натуральных числах систему

  <i>a</i>² + <i>b – c</i> = 100,

  <i>a + b</i>² – <i>c</i> = 124.

Решить в целых числах уравнение  5<i>x</i>³ + 11<i>y</i>³ + 13<i>z</i>³ = 0.

Решить в натуральных числах уравнение  1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ = 2<i>^y</i>.

Решить в натуральных числах уравнение  3^<i>n</i> + 55 = <i>m</i>².

Решить в простых числах уравнение  <i>pqr</i> = 7(<i>p + q + r</i>).

Найти наименьшее значение выражения  |36^<i>k</i> – 5^<i>l</i>|  (<i>k, l</i> – натуральные числа).

Решить в целых числах:  <i>a</i>² + <i>b</i>² = 3(<i>c</i>² + <i>d</i>²).

Найти все натуральные <i>n</i>, для которых  2^<i>n</i> + 33  – точный квадрат.

Доказать, что  3^{2^<i>n</i>} – 1   a) делится на 2^<i>n</i>+2;   б) не делится на 2^<i>n</i>+3.