Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 3-6 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что если  <i>x + y + z ≥ xyz</i>,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xyz</i>.

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств

  1)  <i>a + b < c + d</i>;

  2)  (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);

  3)  (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>

неверно.

Вокруг экватора натянули верёвку. Затем её удлинили на 1 см и опять натянули, приподняв в одном месте.

Сможет ли человек пройти в образовавшийся зазор?

Сумма положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i> равна ½. Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30908/problem_30908_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30893/problem_30893_img_2.gif">.

Рассмотрим число   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30859/problem_30859_img_2.gif">   Докажите, что оно а) меньше ¹/₁₀;   б) меньше ¹/₁₂;   в) больше ¹/₁₅.

Найдите наибольшее из чисел  5¹⁰⁰, 6⁹¹, 7⁹⁰, 8⁸⁵.

20 команд сыграли круговой турнир по волейболу.

Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.

Решите в натуральных числах уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.