Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Итерации» для 7-11 класса - сложность 2-4 с решениями

Найти все действительные решения системы уравнений   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">

Тройки чисел(<i>x</i>_n,<i>y</i>_n,<i>z</i>_n)(<i>n</i>$\geqslant$1) строятся по правилу:<i>x</i>₁= 2,<i>y</i>₁= 4,<i>z</i>₁= 6/7,<div align="CENTER"> <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$,    <i>y</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$,    <i>z</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$,    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div> а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неог...

Последовательность чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = <i>a</i>_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что а) эта последовательность неограничена; б)<i>a</i>₉₀₀₀> 30; в) найдите предел$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$${\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

Последовательность чисел<i>x</i>₀,<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>x</i>₀ = 1,        <i>x</i>_{n + 1} = <i>a</i>^x_n    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Найдите наибольшее число<i>a</i>, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого<i>a</i>?

Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$^.$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$^.$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$... </div>

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные <i>n</i>-угольники. Обозначим их периметры через <i>P_n</i> (для описанного) и <i>p_n</i> (для вписанного).

   а) Найдите <i>P</i>₄, <i>p</i>₄, <i>P</i>₆ и <i>p</i>₆.

   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    <i>P</i>_2<i>n</i> = <img width="63" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61335/problem_61335_img_2.gif">,        <i>p</i&...

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161333">161333</a>) применить для приближенного нахождения корней многочлена  <i>x</i>² – <i>x</i> – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, если  |<i>x</i>₁| > |<i>x</i>₂|?

Пусть многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ + a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  имеет корни  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>,  причем  |<i>x</i>₁| > |<i>x</i>₂| > ... > |<i>x_n</i>|.  В задаче  <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160965">160965</a> был предъявлен способ построения многочлена <i>Q</i>...

Метод Ньютона (см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">9.77</a>) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0. Для многочлена<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>(<i>x</i>- 1)(<i>x</i>+ 1) найдите начальное условие<i>x</i>₀такое, что<i>f</i>(<i>x</i>₀)$\ne$<i>x</i>₀и<i>x</i>₂=<i>x</i>₀.

Предположим, что цепные дроби  <img width="400" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61331/problem_61331_img_2.gif"> сходятся. Согласно задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161330">161330</a>, они будут сходиться к корням многочлена  <i>x</i>² – <i>px + q</i> = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>):   <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> – <img width="98" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/sto...

Пусть<i>p</i>и<i>q</i> — отличные от нуля действительные числа и<i>p</i>²- 4<i>q</i>> 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся: а)<i>y</i>₀= 0,        <i>y</i>_{n + 1}=${\dfrac{q}{p-y_n}}$    (<i>n</i>$\geqslant$0); б)<i>z</i>₀= 0,        <i>z</i>_{n + 1}=<i>p</i>-${\dfrac{q}{z_n}}$    (<i>n</i>$\geqslant$0). Установите связь между предельными значениями этих последовательностей<i>y</i>,<i>z</i>и корнями уравнения<i>x</i>²-<i>px</i>+<i>...

Применим метод Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>) для приближённого нахождения корней многочлена   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² – <i>x</i> – 1. Какие последовательности чисел получатся, если

  а)  <i>x</i>₀ = 1;   б)  <i>x</i>₀ = 0?

К каким числам будут сходиться эти последовательности?

Опишите разложения чисел <i>x_n</i> в цепные дроби.

<b>Метод Ньютона.</b>Для приближенного нахождения корней уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле<div align="CENTER"> <i>x</i>_{n + 1} = <i>x</i>_n - <img width="52" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61328/problem_61328_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$">, </div>(начальное условие<i>x</i>₀следует выбирать поближе к искомому корню). Докажите, что для функции<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>²-<i>k&l...

Докажите, что касательная к графику функции<i>f</i>(<i>x</i>), построенная в точке с координатами(<i>x</i>₀;<i>f</i>(<i>x</i>₀)) пересекает ось<i>Ox</i>в точке с координатой<div align="CENTER"> <i>x</i>₀ - <img width="50" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61327/problem_61327_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$">. </div>

Найдите с точностью до 0,01 сотый член<i>x</i>₁₀₀последовательности {<i>x</i>_n}, если а)<i>x</i>₁$\in$[0; 1],<i>x</i>_{n + 1}=<i>x</i>_n(1 -<i>x</i>_n), (<i>n</i>> 1); б)<i>x</i>₁$\in$[0, 1; 0, 9],<i>x</i>_{n + 1}= 2<i>x</i>_n(1 -<i>x</i>_n), (<i>n</i>> 1).

Назовём <i>геометрико-гармоническим средним</i> чисел <i>a</i> и <i>b</i> общий предел последовательностей {<i>a_n</i>} и {<i>b_n</i>}, построенных по правилу <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a,   b</i>₀ = <i>b</i>,   <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61324/problem_61324_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="53" height="39" align="MIDDLE...

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, и  <i>a < b</i>.  Определим две последовательности чисел {<i>a_n</i>} и {<i>b</i>_n} формулами: <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a, &nbsp b</i>₀ = <i>b,   a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61323/problem_61323_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border=&quo...

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, причём  <i>a < b</i>.  Построим по этим числам две последовательности {<i>a_n</i>} и {<i>b_n</i>} по правилам: <div align="CENTER"><i>a</i>₀ = <i>a</i>,   <i>b</i>₀ = <i>b</i>,   <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <img width="53" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61322/problem_61322_img_2.gif">,   <i>b</i>_<i>n</i>+1 = <img width="60" height="...

Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.

Последовательность чисел {<i>x</i>_n} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i>₁ $\displaystyle \geqslant$ - <i>a</i>,        <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{a+x_n}$. </div>Докажите, что последовательность {<i>x</i>_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

С какой гарантированной точностью вычисляется$\sqrt{k}$при помощи алгоритма задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161299">9.48</a>после пяти шагов?

Докажите, что для чисел {<i>x_n</i>} из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161297">161297</a> можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = [1;<img width="61" height="62" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61316/problem_61316_img_2.gif">].

Оцените разность  |<i>x_n</i> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61316/problem_61316_img_3.gif">|.

<b>Сходимость итерационного процесса.</b>Предположим, что функция<i>f</i>(<i>x</i>) отображает отрезок [<i>a</i>;<i>b</i>] в себя, и на этом отрезке|<i>f'</i>(<i>x</i>)|$\leqslant$<i>q</i>< 1. Докажите, что уравнение<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>имеет на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>] единственный корень<i>x</i>*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:<div align="CENTER"> | <i>x</i>_{n + 1} - <i>x</i>_n| $\displaystyle \leqslant$ | <i>x</i>₁ - <i>x&lt...

Найдите предел последовательности, которая задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 2,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{a_n^2}{8}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>

Последовательность чисел {<i>a</i>_n} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Докажите, что а) последовательность {<i>a</i>_n} ограничена; б)|<i>a</i>₁₀₀₀- 2| <$\left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$${\dfrac{3}{4}}$$\left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$.