Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Итерации» для 3-11 класса - сложность 1-3 с решениями
параграф 3. Итерации
НазадНайти все действительные решения системы уравнений <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">
Последовательность чисел<i>x</i><sub>0</sub>,<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>0</sub> = 1, <i>x</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sup>x<sub>n</sub></sup> (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Найдите наибольшее число<i>a</i>, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого<i>a</i>?
Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные <i>n</i>-угольники. Обозначим их периметры через <i>P<sub>n</sub></i> (для описанного) и <i>p<sub>n</sub></i> (для вписанного).
а) Найдите <i>P</i><sub>4</sub>, <i>p</i><sub>4</sub>, <i>P</i><sub>6</sub> и <i>p</i><sub>6</sub>.
б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения: <i>P</i><sub>2<i>n</i></sub> = <img width="63" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61335/problem_61335_img_2.gif">, <i>p</i&...
Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161333">161333</a>) применить для приближенного нахождения корней многочлена <i>x</i>² – <i>x</i> – 1. Какие последовательности будут сходиться к корням <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub>, если |<i>x</i><sub>1</sub>| > |<i>x</i><sub>2</sub>|?
Пусть многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x<sup>n</sup> + a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + a</i><sub>0</sub> имеет корни <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, причем |<i>x</i><sub>1</sub>| > |<i>x</i><sub>2</sub>| > ... > |<i>x<sub>n</sub></i>|. В задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160965">160965</a> был предъявлен способ построения многочлена <i>Q</i>...
Метод Ньютона (см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">9.77</a>) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0. Для многочлена<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>(<i>x</i>- 1)(<i>x</i>+ 1) найдите начальное условие<i>x</i><sub>0</sub>такое, что<i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>)$\ne$<i>x</i><sub>0</sub>и<i>x</i><sub>2</sub>=<i>x</i><sub>0</sub>.
Пусть<i>p</i>и<i>q</i> — отличные от нуля действительные числа и<i>p</i><sup>2</sup>- 4<i>q</i>> 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся: а)<i>y</i><sub>0</sub>= 0, <i>y</i><sub>n + 1</sub>=${\dfrac{q}{p-y_n}}$ (<i>n</i>$\geqslant$0); б)<i>z</i><sub>0</sub>= 0, <i>z</i><sub>n + 1</sub>=<i>p</i>-${\dfrac{q}{z_n}}$ (<i>n</i>$\geqslant$0). Установите связь между предельными значениями этих последовательностей<i>y</i>,<i>z</i><sup></sup>и корнями уравнения<i>x</i><sup>2</sup>-<i>px</i>+<i>...
Применим метод Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>) для приближённого нахождения корней многочлена <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² – <i>x</i> – 1. Какие последовательности чисел получатся, если
а) <i>x</i><sub>0</sub> = 1; б) <i>x</i><sub>0</sub> = 0?
К каким числам будут сходиться эти последовательности?
Опишите разложения чисел <i>x<sub>n</sub></i> в цепные дроби.
<b>Метод Ньютона.</b>Для приближенного нахождения корней уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>n + 1</sub> = <i>x</i><sub>n</sub> - <img width="52" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61328/problem_61328_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$">, </div>(начальное условие<i>x</i><sub>0</sub>следует выбирать поближе к искомому корню). Докажите, что для функции<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i><sup>2</sup>-<i>k&l...
Докажите, что касательная к графику функции<i>f</i>(<i>x</i>), построенная в точке с координатами(<i>x</i><sub>0</sub>;<i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>)) пересекает ось<i>Ox</i>в точке с координатой<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>0</sub> - <img width="50" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61327/problem_61327_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$">. </div>
Назовём <i>геометрико-гармоническим средним</i> чисел <i>a</i> и <i>b</i> общий предел последовательностей {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b<sub>n</sub></i>}, построенных по правилу <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a, b</i><sub>0</sub> = <i>b</i>, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61324/problem_61324_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="53" height="39" align="MIDDLE...
Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, и <i>a < b</i>. Определим две последовательности чисел {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b</i><sub>n</sub>} формулами: <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a,   b</i><sub>0</sub> = <i>b, a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61323/problem_61323_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border=&quo...
Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, причём <i>a < b</i>. Построим по этим числам две последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b<sub>n</sub></i>} по правилам: <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i>, <i>b</i><sub>0</sub> = <i>b</i>, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="53" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61322/problem_61322_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="...
Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.
Докажите, что для монотонно возрастающей функции<i>f</i>(<i>x</i>) уравнения<i>x</i>=<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) и<i>x</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) равносильны.
Последовательность чисел {<i>x</i><sub>n</sub>} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>1</sub> $\displaystyle \geqslant$ - <i>a</i>, <i>x</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle \sqrt{a+x_n}$. </div>Докажите, что последовательность {<i>x</i><sub>n</sub>} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.
<b>Сходимость итерационного процесса.</b>Предположим, что функция<i>f</i>(<i>x</i>) отображает отрезок [<i>a</i>;<i>b</i>] в себя, и на этом отрезке|<i>f'</i>(<i>x</i>)|$\leqslant$<i>q</i>< 1. Докажите, что уравнение<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>имеет на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>] единственный корень<i>x</i>*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:<div align="CENTER"> | <i>x</i><sub>n + 1</sub> - <i>x</i><sub>n</sub>| $\displaystyle \leqslant$ | <i>x</i><sub>1</sub> - <i>x<...
Найдите предел последовательности, которая задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 2, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{a_n^2}{8}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>
Последовательность чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Докажите, что а) последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} ограничена; б)|<i>a</i><sub>1000</sub>- 2| <$\left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$${\dfrac{3}{4}}$$\left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$.
Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения <i>x</i>³ – <i>x</i> – 1 = 0.
<b>Алгоритм приближенного вычисления $\sqrt[3]{a}$.</b>Последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} определяется условиями:<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i> > 0, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \left(\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right.$2<i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\frac{a}{a_{n}^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right)$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>a</i><sub>n</sub>=$\sqrt[3]{a}$.
<b>Что останется от прямоугольника?</b>Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны<i>a</i>и<i>b</i>которого находятся в пропорции золотого сечения,то есть удовлетворяют равенству<i>a</i>:<i>b</i>=<i>b</i>: (<i>a</i>-<i>b</i>). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлени...
Исследуйте последовательности на сходимость: а)<i>x</i><sub>n + 1</sub>=${\dfrac{1}{1+x_n}}$, <i>x</i><sub>0</sub>= 1; б)<i>x</i><sub>n + 1</sub>= sin <i>x</i><sub>n</sub>, <i>x</i><sub>0</sub>=<i>a</i>$\in$(0;$\pi$); в)<i>x</i><sub>n + 1</sub>=$\sqrt{a+x}$, <i>a</i>> 0,<i>x</i><sub>0</sub>= 0.
Числа<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a</i><sub>k</sub>таковы, что равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$(<i>x</i><sub>n</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>n - 1</sub> +...+ <i>a</i><sub>k</sub><i>x</i><sub>n - k</sub>) = 0 </div>возможно только для тех последовательностей {<i>x</i><sub>n</sub>}, для которых$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i><sub>n</sub>= 0. Докажите, что все корни многочлена<div align="CENTER"> <i>P</i>($\displaystyle \lambda$)...
Для последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>}<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$<i>a</i><sub>n + 1</sub> - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0. </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>a</i><sub>n</sub>= 0.