Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.» - сложность 2-4 с решениями

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Разложите  <i>P</i>(<i>x</i> + 3)  по степеням <i>x</i>, где  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³ + 1.

Пользуясь схемой Горнера, разложите  <i>x</i>⁴ + 2<i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> + 1  по степеням  <i>x</i> + 1.

Докажите, что любой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> можно единственным образом разложить по степеням  <i>x – c</i>: <div align="CENTER"><i>P</i>(<i>x</i>) = <img width="27" height="60" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61002/problem_61002_img_2.gif"> <i>c_k</i>(<i>x – c</i>)^<i>k</i>, </div>причем коэффициенты <i>c_k</i> могут быть найдены по формуле <div align="CENTER"><i>c_k</i> = <img width="8" height="57" align="MIDD...

Значение многочлена  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀    (<i>a_n</i> ≠ 0)  в точке  <i>x = c</i>  можно вычислить, используя ровно <i>n</i> умножений. Для этого нужно представить многочлен <i>P_n</i>(<i>x</i>) в виде  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = (...(<i>a_nx + a</i><sub><...

Сколько представлений допускает дробь  <img width="67" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60999/problem_60999_img_2.gif">  в виде суммы двух положительных дробей со знаменателями <i>n</i> и  <i>n</i> + 1?

Найдите такие линейные функции  <i>P</i>(<i>x</i>)  и  <i>Q</i>(<i>x</i>),  чтобы выполнялось равенство   <i>P</i>(<i>x</i>)(2<i>x</i>³ – 7<i>x</i>² + 7<i>x</i> – 2) + <i>Q</i>(<i>x</i>)(2<i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 1) = 2<i>x</i> – 1.

При помощи метода неопределенных коэффициентов найдите такие линейные функции <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>), чтобы выполнялось равенство

<i>P</i>(<i>x</i>)(<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 2) + <i>Q</i>(<i>x</i>)(<i>x</i>² + <i>x</i> + 1) = 21.

Найдите такие многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>), что  (<i>x</i> + 1)<i>P</i>(<i>x</i>) + (<i>x</i>⁴ + 1)<i>Q</i>(<i>x</i>) = 1.

При каком положительном значении <i>p</i> уравнения  3<i>x</i>² – 4<i>px</i> + 9 = 0  и  <i>x</i>² – 2<i>px</i> + 5 = 0  имеют общий корень?

Решите систему<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array}$ </div>

Последовательность <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ... задана условиями  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>P</i>(<i>a_n</i>)  (<i>n</i> ≥ 0),  где <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами,  <i>P</i>(<i>x</i>) > 0  при  <i>x</i> ≥ 0.

Докажите, что для любых натуральных <i>m</i> и <i>k</i>  (<i>a_m, a_k</i>) = <i>a</i>_{(<i>m, k</i>)}.

Найдите  (<i>xⁿ</i> – 1, <i>x^m</i> – 1).

Найдите наибольший общий делитель многочленов <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и представьте его в виде  <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>):

  а)  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> – 1,  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>x</i>² – <i>x</i> – 1;

  б)  <i>P</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i>⁴ – 5<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 2<i>x</i&g...

Пусть  (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = <i>D</i>(<i>x</i>).

Докажите, что существуют такие многочлены <i>U</i>(<i>x</i>) и <i>V</i>(<i>x</i>), что  deg<i>U</i> (<i>x</i>) < deg <i>Q</i>(<i>x</i>),  deg <i>V</i>(<i>x</i>) < deg <i>P</i>(<i>x</i>)  и   <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>) = <i>D</i>(<i>x</i>).

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлены, причём <i>Q</i>(<i>x</i>) не равен нулю тождественно и <i>P</i>(<i>x</i>) не делится на <i>Q</i>(<i>x</i>). Докажите, что при некотором  <i>s</i> ≥ 1  существуют такие многочлены  <i>A</i>₀(<i>x</i>), <i>A</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>A_s</i>(<i>x</i>)  и  <i>R</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>R_s</i>(<i>x</i>),  что  deg<i>Q</i>(<i>x</i>) > deg<i>R</...

Докажите, что из равенства  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>T</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  следует соотношение  (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = (<i>Q</i>(<i>x</i>), <i>R</i>(<i>x</i>)).

Докажите, что многочлен  <i>a</i>³(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>b</i>³(<i>c</i>² – <i>a</i>²) + <i>c</i>³(<i>a</i>² – <i>b</i>²)  делится на  (<i>b – c</i>)(<i>c – a</i>)(<i>a – b</i>).

Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a_n<i>x</i>ⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀?

Докажите, что количество положительных корней многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  не превосходит числа перемен знака в последовательности  <i>a_n, ..., a</i>₁, <i>a</i>₀.

При каких <i>a</i> многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>³<i>x</i>⁵ + (1 – <i>a</i>)<i>x</i>⁴ + (1 + <i>a</i>³)<i>x</i>² + (1 – 3<i>a</i>)<i>x</i> – <i>a</i>³  делится на  <i>x</i> – 1?

При каких <i>p</i> и <i>q</i> двучлен  <i>x</i>⁴ + 1  делится на  <i>x</i>² + <i>px + q</i>?

При каких значениях параметра <i>a</i> многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ</i> + <i>ax</i>^<i>n</i>–2  (<i>n</i> ≥ 2)  делится на  <i>x</i> – 2 ?

Один из корней уравнения  <i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + <i>ax</i> – 6 = 0  равен 3. Решите уравнение.