Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Числа, дроби, системы счисления» - сложность 3 с решениями

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Проанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога''из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160647">4.21</a>.

<b>Марсианские амебы II.</b>При помощи ним-сумм (смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160914">5.76</a>) можно исследовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160646">4.20</a>. Постройте на множестве марсианских амеб{<i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>} функцию<i>f</i>, для которой выполнялись бы равенства<div align="CENTER"> <i>f</i> (<i>A</i>) $\displaystyle \oplus$ <i>f</i> (<i>B</i>) = <i>f</i> (<i>C</i>),    <i>f</i> (<i>A</i>) $\displaystyle \oplus$ <i>f</i> (<i>C</i>)...

<b>Игра ``Ним''.</b>Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Для анализа игры каждому набору кучек камней<i>m</i>₁,<i>m</i>₂, ...,<i>m</i>_lпоставим в соответствие его ним сумму (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160914">5.1</a>). а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой<i>n</i>$\ne$0. б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой<i>n&...

<b>Ним-сумма.</b>Будем говорить, что число<i>n</i>является ним-суммой чисел<i>m</i>и<i>k</i>(<i>m</i>$\oplus$<i>k</i>=<i>n</i>), если оно получается из чисел<i>m</i>и<i>k</i>после следующих преобразований. 1)<i>m</i>и<i>k</i>записываются в двоичной системе счисления<div align="CENTER"> <i>m</i> = (<i>m</i>_s...<i>m</i>₁<i>m</i>₀)₂,        <i>k</i> = (<i>k</i>_s...<i>k</i>₁<i>k</i>₀)<sub>2...

<b>Задача Иосифа Флавия.</b><i>n</i>человек выстраиваются по кругу и нумеруются числами от 1 до<i>n</i>. Затем из них исключается каждый второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например, если<i>n</i>= 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5. Для данного<i>n</i>будем обозначать через<i>J</i>(<i>n</i>) номер последнего оставшегося человека. Докажите, что а)<i>J</i>(2<i>n</i>) = 2<i>J</i>(<i>n</i>) - 1; б)<i>J</i>(2<i>n</i>+ 1) = 2<i>J</i>(<i>n</i>) + 1; в) если<i>n</i>= (1<i>b</i>_{m - 1}<i>b</i>&...

<b>Ханойская башня и двоичная система счисления.</b>Рассмотрим два процесса, каждый из которых состоит из 2⁸- 1 шагов. Первый — это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160315">1.42</a>) при помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 2⁸- 1. Опишите связь между этими двумя процессами.

<b>Множество Кантора.</b>Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора. а) Найдите сумму длин красных интервалов. б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет. в) Из суммы<div align="CENTER"> $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{9}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{81}}$ +... </div>произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докаж...

<b>Карточный фокус.</b>а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладываете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта. Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указанную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз? б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3<i>n</i>(<i>n</i>< 9) карт?

Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал из 5 данных карточек<div align="CENTER"> <table cellpadding="3" border="1"> <tr><td align="CENTER">1</td> <td align="CENTER">3</td> <td align="CENTER">5</td> <td align="CENTER">7</td> </tr> <tr><td align="CENTER">9</td> <td align="CENTER">11</td> <td align="CENTER">13</td> <td align="CENTER">15</td> </tr> <tr><td align="CENTER">17</td> <td align="CENTER">19</td> <td align="CENTER">21</td> <td align="CENTER">2...

Пусть число <i>m</i> имеет вид  <i>m</i> = 2^<i>a</i>5^<i>b</i><i>m</i>₁,  где  (10, <i>m</i>₁) = 1.  Положим  <i>k</i> = max {<i>a, b</i>}.

Докажите, что период дроби ¹/_<i>m</i> начинается с (<i>k</i>+1)-й позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби ¹/_<i>m</i>₁.

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби   ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>₁, 10) = 1  и  (<i>m</i>₂, 10) = 1,  то справедливо равенство  <i>L</i>(<i>m</i>₁<i>m</i>₂) = [<i>L</i>(<i>m</i>₁), <i>L</i>(<i>m</i>₂)].

Чему равна длина периода дроби  ¹/_<i>m</i>₁ + ¹/_<i>m</i>₂?

Пусть  (<i>m, n</i>) = 1.  Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби  ^<i>m</i>/_<i>n</i>  не превосходит φ(<i>n</i>).

  Число  <i>N</i> = 142857  обладает и рядом других свойств. Например:  2·142857 = 285714,  3·142857 = 428571,  ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;  14 + 28 + 57 = 99;  <i>N</i>² = 20408122449,  20408 + 122449 = 142857 = <i>N</i>.

  Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.

Периодом дроби ¹/₇ является число  <i>N</i> = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток

142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  <i>q</i> > 5  и натурального  <i>p < q</i>  период дроби ^<i>p</i>/_<i>q</i> есть такое 2<i>n</i>-значное число  <i>N</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>N</i>₁<i>N</i>₂</span>,  что  <i>N</i>₁ + <i>N</i>₂ = <img width="54" he...

Дано <i>N</i> точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из <i>k</i> цветов. Докажите, что если  <i>N</i> > [<i>k</i>!<i>e</i>],  то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.

Число <i>e</i> определяется равенством  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_2.gif">  Докажите, что а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_3.gif"> б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_4.gif">  где  0 < <i>r_n</i> ≤ 1/_{<i>n</i>!<i>n</i>};в)  <i>e</i> – иррациональное число.

Докажите следующие равенства:

  а) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_2.gif"> = <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_3.gif"> + <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_4.gif">;

  б) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_5.gif"> = 2 cos<img width="41" height="43" align=&qu...

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

<table> <tr><td align="LEFT">а) <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_2.gif">;    </td> <td align="LEFT"> д) <img width="118" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_3.gif">;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <img width="109" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_4.gif">;    </td> <td align="LEFT"> е) &lt...

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

Вычислите: а)$\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}$+$\sqrt[3]{20-\sqrt{392}}$; б)$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$-$\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$; в)$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}$+$\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}$    (9$\leqslant$<i>x</i>$\leqslant$18).

Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}$ + $\displaystyle \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}$ = 3. </div>

Может ли

а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?

б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?

в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?

Докажите, что уравнения

  а)  8<i>x</i>⁴ + 4<i>y</i>⁴ + 2<i>z</i>⁴ = <i>t</i>⁴;

  б)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>;

  в)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>u</i>² = 2<i>xyzu</i>;

  г)  3^<i>n</i> = <i>x</i>² + <i>y</i>²

не имеют решений в натуральных числах.

Докажите иррациональность следующих чисел:а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_2.gif"> ; б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_3.gif"> ; в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_4.gif"> ; г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_5.gif"> ; д)  cos 10° ; е)  tg 10° ; ж)  sin 1° ; з)  log_₂3 .