Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Метод математической индукции» для 8 класса

Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?

<b>Выпуклая оболочка.</b>Докажите, что для любого числа точек плоскости найдется выпуклый многоугольник с вершинами в некоторых из них, содержащий внутри себя все остальные точки.

Клетки шахматной доски100×100 раскрашены в 4 цвета так, что в любом квадрате 2×2 все клетки разного цвета. Докажите, что угловые клетки раскрашены в разные цвета.

На плоскости проведены<i>n</i>окружностей так, что любые две из них пересекаются в паре точек, и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей делят плоскость эти окружности?

На сколько частей делят плоскость <i>n</i> прямых <i>общего положения</i>, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

<b>Гениальные математики.</b>а) Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?" Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.) б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала известно, что данные числа не превосходят 1000?

Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на<i>n</i>правильных треугольников для любого<i>n</i>, начиная с шести.

Докажите, что квадрат можно разрезать на<i>n</i>квадратов для любого<i>n</i>, начиная с шести.

  а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?   б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?   в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-...

Из квадрата клетчатой бумаги размером16×16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на "уголки'' из трех клеток.

Вычислите произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60313/problem_60313_img_2.gif">

Для каких <i>n</i> выполняются неравенства:   а)  <i>n</i>! > 2^<i>n</i>;   б)  2<i>ⁿ > n</i>².

Докажите неравенство  2^{<i>m+n</i>–2} ≥ <i>mn</i>,  где <i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа.

Докажите неравенство: |<i>x</i>₁+ ... +<i>x</i>_n| ≤ |<i>x</i>₁| + ... + |<i>x</i>_n|, где<i>x</i>₁,...,<i>x</i>_n — произвольные числа.

Докажите неравенство   <i>n</i>^<i>n</i>+1 > (<i>n</i> + 1)^<i>n</i>  для натуральных  <i>n</i> > 2.

Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60307/problem_60307_img_2.gif">

Докажите неравенство:  2<i>ⁿ > n</i>.

Докажите неравенство для натуральных  <i>n</i> > 1:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60304/problem_60304_img_2.gif">

Докажите неравенство для натуральных  <i>n</i> > 1:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60303/problem_60303_img_2.gif">

Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60302/problem_60302_img_2.gif">

Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60301/problem_60301_img_2.gif">

Из чисел от 1 до 2<i>n</i> выбрано  <i>n</i> + 1  число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.

Докажите, что для всех натуральных <i>n</i> число, записываемое 3^<i>n</i> единицами, делится на 3^<i>n</i>.