Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Тождества, неравенства и делимость»
параграф 2. Тождества, неравенства и делимость
НазадНайдите сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.
Найти корни уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">
Вычислите произведение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60313/problem_60313_img_2.gif">
Для каких <i>n</i> выполняются неравенства: а) <i>n</i>! > 2<sup><i>n</i></sup>; б) 2<i><sup>n</sup> > n</i>².
Докажите неравенство 2<sup><i>m+n</i>–2</sup> ≥ <i>mn</i>, где <i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа.
Докажите неравенство <img width="99" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60310/problem_60310_img_2.gif"> ≥ <img width="95" height="32" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60310/problem_60310_img_3.gif">, где <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> – положительные числа.
Докажите неравенство: |<i>x</i><sub>1</sub>+ ... +<i>x</i><sub>n</sub>| ≤ |<i>x</i><sub>1</sub>| + ... + |<i>x</i><sub>n</sub>|, где<i>x</i><sub>1</sub>,...,<i>x</i><sub>n</sub> — произвольные числа.
Докажите неравенство <i>n</i><sup><i>n</i>+1</sup> > (<i>n</i> + 1)<sup><i>n</i></sup> для натуральных <i>n</i> > 2.
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60307/problem_60307_img_2.gif">
Докажите неравенство: 2<i><sup>n</sup> > n</i>.
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i> > 1: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60304/problem_60304_img_2.gif">
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i> > 1: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60303/problem_60303_img_2.gif">
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60302/problem_60302_img_2.gif">
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60301/problem_60301_img_2.gif">
Из чисел от 1 до 2<i>n</i> выбрано <i>n</i> + 1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.
Докажите, что для всех натуральных <i>n</i> число, записываемое 3<sup><i>n</i></sup> единицами, делится на 3<sup><i>n</i></sup>.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 2<sup>3<sup><i>n</i></sup></sup> + 1 делится на 3<sup><i>n</i>+1</sup>.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 4<sup><i>n</i></sup> + 15<i>n</i> – 1 делится на 9.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> число 3<sup>2<i>n</i>+2</sup> + 8<i>n</i> – 9 делится на 16.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 6<sup>2<i>n</i>+1</sup> + 1 делится на 7.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 2<sup>5<i>n</i>+3</sup> + 5<sup><i>n</i></sup>·3<sup><i>n</i>+2</sup> делится на 17.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 10<sup><i>n</i></sup> + 18<i>n</i> – 1 делится на 27.
Числа<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>,... определены следующим образом:<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>0</sub> = 2, <i>a</i><sub>1</sub> = 3, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = 3<i>a</i><sub>n</sub> - 2<i>a</i><sub>n - 1</sub> (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 2). </div>Найдите и докажите формулу для этих чисел.
<b>Факториальная система счисления.</b>Докажите, что каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i><sub>1</sub><sup> . </sup>1! + <i>a</i><sub>2</sub><sup> . </sup>2! + <i>a</i><sub>3</sub><sup> . </sup>3! +..., </div>где0$\leqslant$<i>a</i><sub>1</sub>$\leqslant$1,0$\leqslant$<i>a</i><sub>2</sub>$\leqslant$2,0$\leqslant$<i>a</i><sub>3</sub>$\leqslant$3...
Докажите тождество:${\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$+${\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$+...+${\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$=${\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.