Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Метод математической индукции» для 7 класса

Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

Вычислите произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60313/problem_60313_img_2.gif">

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2<i>n</i>– 1) =<i>n</i>².

Число<i>x</i>таково, что число<i>x</i>+${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном<i>n</i>число<i>x</i>ⁿ+${\frac{1}{x^n}}$также является целым.

Докажите, что если <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа и  <i>b</i> ≠ 0,  то существует единственная пара чисел <i>q</i> и <i>r</i>, для которой  <i>a = bq + r</i>,  0 ≤ <i>r < |b</i>|.

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.

Сколько всего стало ящиков?

Доказать, что  <i>n</i>³ + 5<i>n</i>  делится на 6 при любом целом <i>n</i>.

<i>x</i> ≥ –1, <i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   (1 + <i>x</i>)^<i>n</i> ≥ 1 + <i>nx</i>.