Олимпиадные задачи по теме «Методы математического анализа» для 9 класса - сложность 4 с решениями
Методы математического анализа
НазадДан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по 5 шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
В бесконечной последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... число <i>a</i><sub>1</sub> равно 1, а каждое следующее число <i>a<sub>n</sub></i> строится из предыдущего <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1, если же остаток равен 3, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встреч...
Найдите все такие пары (<i>x, y</i>) натуральных чисел, что <i>x + y = a<sup>n</sup>, x</i>² + <i>y</i>² = <i>a<sup>m</sup></i> для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
В последовательности натуральных чисел {<i>a<sub>n</sub></i>}, <i>n</i> = 1, 2, ..., каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных <i>n</i> и <i>m</i> выполнено неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109941/problem_109941_img_2.gif"> Докажите, что тогда |<i>a<sub>n</sub> – n</i>| < 2000000 для всех натуральных <i>n</i>.
Пусть<i> M={x<sub>1</sub>, .., x</i>30<i>} </i>– множество, состоящее из 30 различных положительных чисел;<i> A<sub>n</sub> </i>(1<i><img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> n<img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> </i>30) – сумма всевозможных произведений различных<i> n </i>элементов множества<i> M </i>. Докажите, что если<i> A</i>15<i>>A</i>10, то<i> A<sub>1</sub>></i>1.
Два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> и <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i> принимают отрицательные значения на некотором интервале <i>I</i> длины более 2, а вне <i>I</i> – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка <i>x</i><sub>0</sub>, что <i>P</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) < <i>Q</i>(<i>x</i><sub>0</sub>).
Известно, что <i>f</i>(<i>x</i>), <i>g</i>(<i>x</i>) и <i>h</i>(<i>x</i>) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение <i>f</i>(<i>g</i>(<i>h</i>(<i>x</i>))) = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.
В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число <i>k</i>, затем камни в ящиках делятся на группы по <i>k</i> штук и остаток менее, чем из <i>k</i> штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за пять ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них
а) не более 460 камней;
б) не более 461 камня?
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)
Контуры выпуклых многоугольников <i>F</i> и <i>G</i> не имеют общих точек, причём <i>G</i> расположен внутри <i>F</i>. Хорду многоугольника <i>F</i> – отрезок, соединяющий две точки контура <i>F</i>, назовём опорной для <i>G</i>, если она пересекается с <i>G</i> только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону <i>G</i>.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру <i>G</i>.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.
Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника. в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее? (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).
Посередине между двумя параллельными улицами стоят в один ряд одинаковые дома со стороной, равной <i>a</i>. Расстояние между улицами – 3<i>a</i>, а расстояние между двумя соседними домами – 2<i>a</i> (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78571/problem_78571_img_2.gif"></div>Одна улица патрулируется полицейскими, которые движутся на расстоянии 9<i>a</i> друг от друга со скоростью <i>v</i>. К тому времени, как первый полицейский проходит мимо середины некоторого дома, точно напротив него на другой улице появляется гангстер. С какой постоянной скоростью и в какую сторону должен двигаться по этой улице гангстер, чтобы ни один полицейский его не заметил?
Трёхчлен <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> при всех целых <i>x</i> является точным квадратом. Доказать, что тогда <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = (<i>dx + e</i>)².
На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нём точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное $R$, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса $R$, то на каждой дуге колеса величиной в $1^\circ$ будет след хотя бы одной отмеченной точки.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.
Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.
Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.
Дан выпуклый пятиугольник. Каждая диагональ отсекает от него треугольник. Докажите, что сумма площадей треугольников больше площади пятиугольника.
В каждый узел бесконечной клетчатой бумаги воткнута вертикальная булавка. Иголка длины<i>l</i>лежит на бумаге параллельно линиям сетки. При каких<i>l</i>иголку можно повернуть на 90°, не выводя из плоскости бумаги? Иголку разрешается как угодно двигать по плоскости, но так, чтобы она проходила между булавками; толщиной булавок и иголки пренебречь.