Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 5-11 класса
Пусть <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub> – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (|<i>x – x</i><sub>1</sub>| + |<i>x – x</i><sub>2</sub>| + ... + |<i>x – x<sub>n</sub></i>|) = ½.
Коэффициенты квадратного уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 удовлетворяют условию 2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, <i>b</i><sub>3</sub>, что <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub> ≠ 0. Оказалось, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>) + <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3<...
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь <i>n</i>-го прямоугольника равна <i>n</i>². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа <i>N</i> найдутся квадраты суммарной площади больше <i>N</i>?
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2<i><sup>n</sup></i> слов, состоящих из <i>n</i> букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение <i>n</i> множителей, исправив каждую букву А на <i>x</i>, а каждую букву Б – на (1 – <i>x</i>), и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от <i>x</i>. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от <i>x</i>.
Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа <i>S</i> найдутся прямоугольники суммарной площади больше <i>S</i>.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: <i>x</i>² + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i>² + <i>a</i><sub>9</sub><i>x + b</i><sub>9</sub>. Известно, что последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>9</sub> и <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b</i><sub>9</sub> – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...
Решите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение <i>х</i><sup>4</sup> – 4<i>х</i><sup>3</sup> + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений <i>ax</i><sup>11</sup> + <i>bx</i><sup>4</sup> + <i>c</i> = 0, <i>bx</i><sup>11</sup> + <i>cx</i><sup>4</sup> + <i>a</i> = 0, <i>cx</i><sup>11</sup> + <i>ax</i><sup>4</sup> + <i>b</i> = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif"> при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2<sup>2011</sup>).
Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif"> целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Найдите такое значение $a > 1$, при котором уравнение $a^x = \log_a x$ имеет единственное решение.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">. Найдите <i>f</i>(–1).
Докажите, что если числа <i>x, y, z</i> при некоторых значениях <i>p</i> и <i>q</i> являются решениями системы
<i>y = x<sup>n</sup> + px + q, z = y<sup>n</sup> + py + q, x = z<sup>n</sup> + pz + q</i>,
то выполнено неравенство <i>x</i>²<i>y + y</i>²<i>z + z</i>²<i>x ≥ x</i>²<i>z + y</i>²<i>x + z</i>²<i>y</i>.
Рассмотрите случаи а) <i>n</i> = 2; б) <i>n</i> = 2010.
Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.
Последовательность<i> a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,.. </i>такова, что<i> a<sub>1</sub><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a<sub>k+</sub></i>1<i>=a<sub>k</sub>+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции <center><i>
y= sin x, x<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif"></i>(0<i>;α</i>)<i>.
</i></center> Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а)<i> α<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif"></i>(<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_3.gif">;π</i>); б)<i> α<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif">&...
Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>
h</i>(<i>t</i>)<i>=at<sup>2</sup>+bt+c,
</i></center> а в момент<i> t<sub>0</sub> </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=h'</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
В бесконечной последовательности (<i>x<sub>n</sub></i>) первый член <i>x</i><sub>1</sub> – рациональное число, большее 1, и <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>x<sub>n</sub></i> + <sup>1</sup>/<sub>[<i>x<sub>n</sub></i>]</sub> при всех натуральных <i>n</i>.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Дан квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>. Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>. Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.
Последовательность(<i>a<sub>n</sub></i>)задана условиями<i> a<sub>1</sub>= </i>1000000,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)| при всех действительных <i>x</i>.
Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.