Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 1-10 класса
Пусть <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub> – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (|<i>x – x</i><sub>1</sub>| + |<i>x – x</i><sub>2</sub>| + ... + |<i>x – x<sub>n</sub></i>|) = ½.
Коэффициенты квадратного уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 удовлетворяют условию 2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, <i>b</i><sub>3</sub>, что <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub> ≠ 0. Оказалось, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>) + <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3<...
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь <i>n</i>-го прямоугольника равна <i>n</i>². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа <i>N</i> найдутся квадраты суммарной площади больше <i>N</i>?
На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: <i>x</i>² + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i>² + <i>a</i><sub>9</sub><i>x + b</i><sub>9</sub>. Известно, что последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>9</sub> и <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b</i><sub>9</sub> – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...
Решите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение <i>х</i><sup>4</sup> – 4<i>х</i><sup>3</sup> + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений <i>ax</i><sup>11</sup> + <i>bx</i><sup>4</sup> + <i>c</i> = 0, <i>bx</i><sup>11</sup> + <i>cx</i><sup>4</sup> + <i>a</i> = 0, <i>cx</i><sup>11</sup> + <i>ax</i><sup>4</sup> + <i>b</i> = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif"> при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2<sup>2011</sup>).
Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif"> целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Найдите такое значение $a > 1$, при котором уравнение $a^x = \log_a x$ имеет единственное решение.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">. Найдите <i>f</i>(–1).
Докажите, что если числа <i>x, y, z</i> при некоторых значениях <i>p</i> и <i>q</i> являются решениями системы
<i>y = x<sup>n</sup> + px + q, z = y<sup>n</sup> + py + q, x = z<sup>n</sup> + pz + q</i>,
то выполнено неравенство <i>x</i>²<i>y + y</i>²<i>z + z</i>²<i>x ≥ x</i>²<i>z + y</i>²<i>x + z</i>²<i>y</i>.
Рассмотрите случаи а) <i>n</i> = 2; б) <i>n</i> = 2010.
Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.
Последовательность<i> a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,.. </i>такова, что<i> a<sub>1</sub><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a<sub>k+</sub></i>1<i>=a<sub>k</sub>+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции <center><i>
y= sin x, x<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif"></i>(0<i>;α</i>)<i>.
</i></center> Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а)<i> α<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif"></i>(<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_3.gif">;π</i>); б)<i> α<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif">&...
Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>
h</i>(<i>t</i>)<i>=at<sup>2</sup>+bt+c,
</i></center> а в момент<i> t<sub>0</sub> </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=h'</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
В бесконечной последовательности (<i>x<sub>n</sub></i>) первый член <i>x</i><sub>1</sub> – рациональное число, большее 1, и <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>x<sub>n</sub></i> + <sup>1</sup>/<sub>[<i>x<sub>n</sub></i>]</sub> при всех натуральных <i>n</i>.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Дан квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>. Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>. Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.
Последовательность(<i>a<sub>n</sub></i>)задана условиями<i> a<sub>1</sub>= </i>1000000,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)| при всех действительных <i>x</i>.
Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Высота<i> SO </i>правильной четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>образует с боковым ребром угол<i> α </i>, объём этой пирамиды равен<i> V </i>. Вершина второй правильной четырёхугольной пирмиды находится в точке<i> S </i>, центр основания – в точке<i> C </i>, а одна из вершин основания лежит на прямой<i> SO </i>. Найдите объём общей части этих пирамид.