Олимпиадные задачи по теме «Производная» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>

h</i>(<i>t</i>)<i>=at²+bt+c,

</i></center> а в момент<i> t₀ </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t₀</i>)<i>=h'</i>(<i>t₀</i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>cos <i>x</i>=<i>ax</i>+<i>b</i></td></tr> <tr><td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=0</td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=<i>bx</i></td></tr> <tr><td>cos <i>x</i>=<i>b</i></td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Доказать, что если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78003/problem_78003_img_2.gif">   то  <i>x</i>⁴ + <i>a</i>₁<i>x</i>³ + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x + a</i>₄  делится на  (<i>x – x</i>₀)².

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.

Решите уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>),  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">

Решите систему уравнений:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/64894/problem_64894_img_2.gif">.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>n</i>²<i>x</i>^<i>n</i>+2 – (2<i>n</i>² + 2<i>n</i> – 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (<i>n</i> + 1)²<i>xⁿ – x</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Экспонентой<i>y</i>=<i>e</i>^xназывается такая функция, для которой выполнены условия<i>y'</i>(<i>x</i>) =<i>y</i>(<i>x</i>) и<i>y</i>(0) = 1. Какая последовательность {<i>a</i>_n} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор$\Delta$?

Докажите, что для любых<i>x</i>₁,...,<i>x</i>_n$\in$[0; $\pi$] справедливо неравенство:<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$. </div>

<b>Неравенство Иенсена.</b>Докажите, что если функция<i>f</i>(<i>x</i>) выпукла вверх на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>], то для любых различных точек<i>x</i>₁,<i>x</i>₂, ...,<i>x</i>_n(<i>n</i>$\geqslant$2) из [<i>a</i>;<i>b</i>] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$, ...,$\alpha_{n}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$+...+$\alpha_{n}^{}$= 1, выполняется неравенство:<div align="CENTER"> <i>f</i> ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i>x</i>₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$<i>x</i><sub>n</sub&g...

Докажите, что если функция<i>f</i>(<i>x</i>) выпукла вверх на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>], то для любых различных точек<i>x</i>₁,<i>x</i>₂из [<i>a</i>;<i>b</i>] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$= 1 выполняется неравенство: <div align="CENTER"> <i>f</i>$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i>x</i>₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$<i>x</i>₂$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i&gt...

Метод Ньютона (см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">9.77</a>) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0. Для многочлена<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>(<i>x</i>- 1)(<i>x</i>+ 1) найдите начальное условие<i>x</i>₀такое, что<i>f</i>(<i>x</i>₀)$\ne$<i>x</i>₀и<i>x</i>₂=<i>x</i>₀.

Докажите, что касательная к графику функции<i>f</i>(<i>x</i>), построенная в точке с координатами(<i>x</i>₀;<i>f</i>(<i>x</i>₀)) пересекает ось<i>Ox</i>в точке с координатой<div align="CENTER"> <i>x</i>₀ - <img width="50" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61327/problem_61327_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$">. </div>

Пусть  |<i>x</i>₁| ≤ 1  и   |<i>x</i>₂| ≤ 1.  Докажите неравенство   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61288/problem_61288_img_2.gif">

При всех значениях параметра <i>a</i> найдите число действительных корней уравнения  <i>x</i>³ – <i>x – a</i> = 0.

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше

  а)  4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 8,     4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 9;

  б)  4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 11,     4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 12?

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>nx</i>^<i>n</i>+1 – (<i>n</i> + 1)<i>x ⁿ</i>  + 1  делится на  (<i>x</i> – 1)².

При каких <i>A</i> и <i>B</i> многочлен  <i>Ax</i>^<i>n</i>+1 + <i>Bxⁿ</i> + 1  имеет число  <i>x</i> = 1  не менее чем двукратным корнем?

<a>Постройте многочлен <i>R</i>(<i>x</i>) из задачи </a><a href="https://mirolimp.ru/tasks/161019">161019</a>, если:   а)  <i>P</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>⁶– 6<i>x</i>⁴– 4<i>x</i>³+ 9<i>x</i>²+ 12<i>x</i>+ 4;   б)  <i>P</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>⁵+<i>x</i>⁴– 2<i>x</i>³– 2<i>x</i>²+<i>x</i>+ 1.

Для данного многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) опишем способ, который позволяет построить многочлен <i>R</i>(<i>x</i>), который имеет те же корни, что и <i>P</i>(<i>x</i>), но все кратности 1. Положим  <i>Q</i>(<i>x</i>) = (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>P'</i>(<i>x</i>))  и  <i>R</i>(<i>x</i>) = <i>P</i>(<i>x</i>)<i>Q</i>^–1(<i>x</i>).  Докажите, что

  а) все корни многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) будут корнями <i>R</i>(<i>x</i>);

  б) многочлен <i>R</i>(<i>x</i>) не имеет кратных корней....