Задача
Неравенство Иенсена.Докажите, что если функцияf(x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точекx1,x2, ...,xn(n$\geqslant$2) из [a;b] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$, ...,$\alpha_{n}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$+...+$\alpha_{n}^{}$= 1, выполняется неравенство:
f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$xn) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$f (xn).
Решение
Применим индукцию. Приn= 2 неравенство Иенсена было доказано в задаче 10.55.
Предположим, что оно верно для некоторогоn$\geqslant$2 и докажем его приn+ 1. Пусть$\beta$=$\alpha_{1}^{}$+...+$\alpha_{n}^{}$> 0. Тогда${\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$+...+${\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$= 1. Используя неравенство сn= 2, находим
| f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$xn + 1) | = | f$\displaystyle \left(\vphantom{\beta\left( \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n\right)+\alpha_{n+1} x_{n+1}}\right.$$\displaystyle \beta$$\displaystyle \left(\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$$\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$x1 +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$xn$\displaystyle \left.\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$ + $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$xn + 1$\displaystyle \left.\vphantom{\beta\left( \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n\right)+\alpha_{n+1} x_{n+1}}\right)$ > |
| > | $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$f (xn + 1) + $\displaystyle \beta$f$\displaystyle \left(\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$$\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$x1 +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$xn$\displaystyle \left.\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$. |
f$\displaystyle \left(\vphantom{
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$$\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$x1 +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$xn$\displaystyle \left.\vphantom{
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$ > $\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$f (x1) +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$f (xn).
Следовательно
f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$xn + 1) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$f (xn + 1).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет