Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» - сложность 1-2 с решениями

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна 100. Может ли сумма цифр числа <i>n</i>³ равняться 1000000?

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109154/problem_109154_img_2.gif">

Доказать, что     <img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_2.gif"> <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_3.gif"></div>

Сколькими способами можно прочитать в таблице слово

  а)  КРОНА,

  б)  КОРЕНЬ,

начиная с буквы "K" и двигаясь вправо или вниз? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/103809/problem_103809_img_2.gif"></div>

Рассматривается числовой треугольник: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98176/problem_98176_img_2.gif"></div>(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.

Доказать, что не существует таких натуральных чисел <i>x, y, z, k</i>, что  <i>x^k + y^k = z^k</i>  при условии  <i>x < k,  y < k</i>.

Найти корни уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">

Докажите, что  2^<i>n</i> > (1 – <i>x</i>)^<i>n</i> + (1 + <i>x</i>)^<i>n</i>  при целом  <i>n</i> ≥ 2  и  |<i>x</i>| < 1.

В числовом треугольнике <div align="center"><img src="/storage/problem-media/76551/problem_76551_img_2.gif"></div>каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева (отсутствующие числа считаются равными нулю). Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, найдутся чётные числа.

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73613/problem_73613_img_2.gif">   где <i>x</i> и <i>y</i> – целые неотрицательные числа. Докажите это.

Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна 0,95.

Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 среди них было не менее пяти работающих?

Даны многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение <i>P</i>(<i>x</i> +1) = <i>Q</i>(<i>x –</i> 1) имеет хотя бы один действительный корень.

а) Определение (смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>) функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) не позволяет вычислять их значения при  <i>x</i> = 1.  Но, поскольку функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) являются многочленами, они определены и при  <i>x</i> = 1.  Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61523/problem_61523_img_2.gif"> б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161522">161522</a> подставить значение  <i>x</i> = 1?

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_3.gif">

Найдите у чисел   а)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_2.gif">)¹⁹⁹⁹;   б)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)¹⁹⁹⁹;   в)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)²⁰⁰⁰   первые 1000 знаков после запятой.

Используя разложение  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона, найдите:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_3.gif">

Докажите, что если  <i>a + b + c</i> = 0,  то   2(<i>a</i>⁵ + <i>b</i>⁵ + <i>c</i>⁵) = 5<i>abc</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²).

При каких натуральных <i>n</i> число  (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)^<i>n</i> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)^<i>n</i>  будет целым?

<b>Малая теорема Ферма</b>. Пусть <i>p</i> – простое число и <i>p</i> не делит <i>a</i>. Тогда  <i>a</i>^<i>p</i>–1 ≡ 1 (mod <i>p</i>).

Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)^<i>p</i>  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160400">160400</a>).

Докажите, что если <i>p</i> – простое число, то   (<i>a</i> + <i>b</i>)^<i>p</i> – <i>a^p – b^p</i>   делится на  <i>p</i> при любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.

Докажите, что если <i>p</i> – простое число и  1 ≤ <i>k ≤ p</i> – 1,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60668/problem_60668_img_2.gif">  делится на <i>p</i>.

<div align="CENTER"> <table cellpadding="3"> <tr><td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER">1</td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </...

Вычислите сумму:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60582/problem_60582_img_2.gif">

Докажите равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60581/problem_60581_img_2.gif">

(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)