Олимпиадные задачи по теме «Проективная геометрия», сложность 1-3

Задача 216572 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Докажите, что диагонали AD, BE, CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:

а) AB = BC, CD = DE, EF = FA;

б) AB = BC, CD = FA, EF = DE;

в) AB = DE, CD = FA, EF = BC.

Задача 215899 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

Богданов И. И. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 215862 • Сложность: 3 • 8-11 класс

В треугольнике ABC M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A1 и B1 – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA1 и BB1. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда GM || AB.

Заславский А. А. Планиметрия Стереометрия Проективная геометрия

Задача 215858 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.

Нилов Ф. Планиметрия Стереометрия Проективная геометрия

Задача 215779 • Сложность: 3 • 8-11 класс

На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A1, B1, другая – в точках A2 , B2. Прямые A1B2 и A2B1 пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.

Протасов В. Ю. Планиметрия Проективная геометрия Комбинаторная геометрия

Задача 203940 • Сложность: 3 • 8-10 класс

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

Протасов В. Ю. Девятов Р. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 198601 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что

а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.;

б) прямые <i...

Протасов В. Ю. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 198532 • Сложность: 2 • 8-9 класс

В трапеции ABCD на боковой стороне AB дана точка K. Через точку A провели прямую l, параллельную прямой KC, а через точку B – прямую m, параллельную прямой KD. Докажите, что точка пересечения прямых l и m лежит на стороне CD.

Бугаенко В. О. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 177931 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Проекцией точкиAиз точкиOна плоскостьPназывается точкаA', в которой прямаяOAпересекает плоскостьP. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точкаOне лежит в его плоскости?

Проективная геометрия

Задача 176535 • Сложность: 3 • 10-11 класс

В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что:

1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;

2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;

3) на каждом маршруте не менее трёх остановок.

Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?

Классическая комбинаторика Проективная геометрия Комбинаторная геометрия

Задача 176531 • Сложность: 2 • 8-9 класс

Автобусная сеть города устроена следующим образом:

1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;

2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;

3) на каждом маршруте ровно три остановки.

Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)

Классическая комбинаторика Проективная геометрия Комбинаторная геометрия

Задача 167351 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$. Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.

Швецов Д. В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 167350 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Окружность $\omega$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается его сторон $BC, CA$ и $AB$ в точках $D, E$ и $F$ соответственно. Точка $M$ на луче $EF$ такова, что $EM = AB$. Точка $N$ на луче $FE$ такова, что $FN = AC$. Окружности $BFM$ и $CEN$ повторно пересекают $\omega$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Докажите, что прямые $BS, CT$ и $AD$ пересекаются в одной точке.

Dong L. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 167342 • Сложность: 3 • 8-11 класс

В трапецию $ABCD$ ($AD\parallel BC$) вписана окружность $\omega$, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую $QR$ в точке $X$. Докажите, что прямые $AB$, $QS$ и $DX$ пересекаются в одной точке.

Марданов А. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 167240 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Бибиков П. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166320 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I и вписан в окружность Ω. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что описанная окружность ω треугольника PIQ перпендикулярна Ω.

Фролов И. И. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166274 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

Заславский А. А. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166273 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC. Точка K – основание биссектрисы внешнего угла A. Точка M – середина дуги AC описанной окружности. Точка N выбрана на биссектрисе угла C так, что AN || BM. Докажите, что точки M, N и K лежат на одной прямой.

Богданов И. И. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166246 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC, P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.

Ивлев Ф. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166245 • Сложность: 3 • 9-11 класс

В окружность вписан шестиугольник ABCDEF. K, L, M, N – точки пересечения пар прямых AB и CD, AC и BD, AF и DE, AE и DF.

Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.

Ясинский В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 165371 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I1 и I2 соответственно. Прямая I1I2 пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Якубов А. Крутовский Р. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 165248 • Сложность: 3 • 9-11 класс

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что QM ⊥ AC и PM ⊥ AB. Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что BH = CX.

Дидин М. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 165047 • Сложность: 3 • 9-11 класс

На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.

Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.

Ясинский В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 165020 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точки C' и D' диаметрально противоположны точкам C и D соответственно. Касательные к окружности в точках C' и D' пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B – между A и F). Прямая EO пересекает стороны AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает стороны AD и BD...

Ясинский В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 165018 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.

Фольклор Планиметрия Проективная геометрия

Олимпиадные задачи по теме «Проективная геометрия» - сложность 1-3 с решениями

Проективная геометрия

Источники

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи по теме «Проективная геометрия» - сложность 1-3 с решениями

Проективная геометрия

Источники

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления