Олимпиадная задача по планиметрии и проективной геометрии с окружностями (10-11 класс, Протасов В. Ю.)
Задача
Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что
а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.;
б) прямые l1, l2 и K имеют общую точку.
Решение
Пусть P – отличная от B точка пересечения прямой KM с описанной окружностью Ω3 треугольника QBR. Чтобы не перебирать многочисленные случаи взаимного расположения точек на окружностях, будем использовать ориентированные углы (см. Справочник). Для пояснения будем индексами 1, 2, 3 после знака равенства отмечать, в какой именно окружности рассматривались углы (вписанные или между касательной и хордой) по обе стороны равенства. Поскольку ∠(QP, PK) = ∠(QP, PB) =3 ∠(QR, RB) = ∠(AR, RB) =2 ∠(AM, MB) = ∠(AM, PK), то QP || AM. Аналогично, RP || AK. а) По условию QP совпадает с l1, откуда ∠(RB, BP) = ∠(RB, BM) =2 ∠(RA, AM) = ∠(RQ, QP) = ∠(AQ, l1) =1 ∠(AB, BQ). Добавив к обеим частям равенства ∠(QB, BR), получим ∠(QB, BP) = ∠(AB, BR). (*)
Следовательно, ∠(AR, RP) = ∠(QR, RP) =3 ∠(QB, BP) =* ∠(AB, BR) = ∠(AR, l2), то есть RP совпадает с касательной l2. б) Согласно вышеизложенному, эта общая точка – P.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь