Олимпиадная задача по планиметрии и проективной геометрии для 10-11 класса: пересечение диагоналей вписанного шестиугольника
Задача
Докажите, что диагонали AD, BE, CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:
а) AB = BC, CD = DE, EF = FA;
б) AB = BC, CD = FA, EF = DE;
в) AB = DE, CD = FA, EF = BC.
Решение
Решение 1: а) Прямые AD, BE, CF являются биссектрисами углов треугольника ACE.
б) Это следует из симметрии картинки относительно прямой BE.
в) Легко видеть, что AC || DF, AE || BD и CE || BF. Поэтому наше утверждение – частный случай теоремы Дезарга (для треугольников ACE и DFB) (см. задачу 156907).
Решение 2:Все три утверждения немедленно следуют из теоремы Чевы для вписанного шестиугольника (см. задачу 135216).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет