Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Планиметрия
НазадОтмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Центр <i>О</i> окружности, описанной около четырёхугольника <i>АВСD</i>, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если ∠<i>ВАО</i> = ∠<i>DAC,
AC = m, BD = n</i>.
Дан правильный девятиугольник.
Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?
Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что <i>MK = KN</i>.
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?
Точка <i>Х</i> расположена на диаметре <i>АВ</i> окружности радиуса <i>R</i>. Точки <i>K</i> и <i>N</i> лежат на окружности в одной полуплоскости относительно <i>АВ</i>,
а ∠<i>KXA</i> = ∠<i>NXB</i> = 60°. Найдите длину отрезка <i>KN</i>.
Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
а) равные многоугольники;
б) правильные многоугольники?
Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?
Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?
Четырёхугольник <i>ABCD</i> без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду <i>AB</i>, а другая – хорду <i>CD</i>, отметим их точку касания <i>X</i>. Докажите, что все такие точки <i>X</i> лежат на одной окружности.
На плоскости нарисовали кривые <i>y</i> = cos <i>x</i> и <i>x</i> = 100 cos(100<i>y</i>) и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть <i>a</i> – сумма абсцисс, а <i>b</i> – сумма ординат этих точек. Найдите <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>.
В треугольнике <i>ABC</i> высоты или их продолжения пересекаются в точке <i>H</i>, а <i>R</i> – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠<i>A</i> ≤ ∠<i>B</i> ≤ ∠<i>C</i>, то <i>AH + BH</i> ≥ 2<i>R</i>.
Для заданных значений <i>a, b, c</i> и <i>d</i> оказалось, что графики функций <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_3.gif"> имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_4.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_5.gif"> также имеют ровно одну общую точку.
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.
Внутри прямоугольного треугольника <i>АВС</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i>, из которой опущены перпендикуляры <i>PK</i> и <i>РМ</i> на катеты <i>АС</i> и <i>ВС</i> соответственно. Прямые <i>АР</i> и <i>ВР</i> пересекают катеты в точках <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно. Известно, что <i>S<sub>APB'</sub></i> : <i>S<sub>KPB'</sub> = m</i>. Найдите <i>S<sub>MPA'</sub></i> : <i>S<sub>BPA'</sub></i>.
Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты?
Каково максимальное число попарно непараллельных отрезков с концами в вершинах правильного <i>n</i>-угольника?
Докажите, что диагонали <i>AD, BE, CF</i> вписанного шестиугольника <i>ABCDEF</i> пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:
а) <i>AB = BC</i>, <i>CD = DE</i>, <i>EF = FA</i>;
б) <i>AB = BC</i>, <i>CD = FA</i>, <i>EF = DE</i>;
в) <i>AB = DE</i>, <i>CD = FA</i>, <i>EF = BC</i>.
Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> лежит на ребре <i>CD</i> и 2<i>DF = FC</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB, AB</i> = 3<i>BS</i> и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?
Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB, AB</i> = 2<i>BS</i>, точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?
Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB</i>, 2<i>AB = BS</i> и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?
Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB, S ≠ A, AB = BS</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?
В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...
В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...
Сторона основания <i>ABCD</i> правильной пирамиды <i>SABCD</i> равна <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_2.gif">, угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_3.gif">. Точка <i>M</i> – середина ребра <i>SD</i>, точка <i>K</i> – середина ребра <i>AD</i>. Найдите:1) объём пирамиды <i>CMSK</i>;2) угол между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>;3) расстояние между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>.