Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 10 класса - сложность 1 с решениями

Известно, что  tg <i>A</i> + tg <i>B</i> = 2  и  ctg <i>A</i> + ctg <i>B</i> = 3.  Найдите  tg (<i>A + B</i>).

Найдите все пары  (<i>p, q</i>)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполнено неравенство  (<i>n</i> – 1)^<i>n</i>+1(<i>n</i> + 1)^<i>n</i>–1 < <i>n</i>^2<i>n</i>.

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Известно, что <i>x, y</i> и <i>z</i> – целые числа и  <i>xy + yz + zx</i> = 1.  Докажите, что число  (1 + <i>x</i>²)(1 + <i>y</i>²)(1 + <i>z</i>²)  является квадратом натурального числа.

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

Для некоторых чисел <i>а, b, c</i> и <i>d</i>, отличных от нуля, выполняется равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116531/problem_116531_img_2.gif"> .   Найдите знак числа <i>ас</i>.

Решите уравнение:   (<i>x</i> + 2010)(<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012) = (<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012)(<i>x</i> + 2013).

На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.

Про углы треугольника <i>ABC</i> известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_3.gif"> .   Найдите величину угла <i>C</i>.

Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля?  ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)

Известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_2.gif"> .   Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_3.gif">.

Какие значения может принимать выражение  (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>),  если известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Верно ли, что если  <i>b > a + c</i> > 0,  то квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   имеет два корня?

Решите неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?

Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?

Найдите наибольшее натуральное <i>n</i>, при котором  <i>n</i>²⁰⁰ < 5³⁰⁰.

На координатной плоскости изображен график функции  <i>y = ax</i>² + <i>c</i>  (см. рисунок). В каких точках график функции  <i>y = cx + a</i>  пересекает оси координат? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116009/problem_116009_img_2.gif"></div>

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

Известно, что разность кубов корней квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  равна 2011. Сколько корней имеет уравнение  <i>ax</i>² + 2<i>bx</i> + 4<i>c</i> = 0?