Олимпиадная задача по теории чисел: среднее арифметическое и числа от 1 до 20

Первый способ. Сумма первых двадцати чисел натурального ряда равна  (1 + 20)·10 = 210.  Следовательно, если одно из них стёрто, то сумма S оставшихся чисел удовлетворяет неравенству  190 ≤ S ≤ 209.  Среднее арифметическое оставшихся чисел равно ^S/₁₉.  По условию, это – натуральное число, значит, S кратно 19. На отрезке [190, 209] есть ровно два таких числа: 190 и 209. Если  S = 190,  то стерли число 20, а если  S = 209,  то стёрли единицу.Второй способ. Заметим, что могли стереть как наибольшее из записанных чисел, так и наименьшее. Действительно, в первом случае среднее арифметическое оставшихся чисел равно  (210 – 20) : 19 = 10,  а во втором –  (210 – 1) : 19 = 11.  При стирании любого другого числа среднее арифметическое оставшихся будет больше 10, но меньше 11, то есть не целым. Таким образом, никакое другое число не могло оказаться стёртым.

20 или 1.