Олимпиадные задачи по теме «Системы счисления» для 4-9 класса - сложность 4-5 с решениями

Петя и Вася играют в следующую игру. Петя загадывает натуральное число <i>x</i> с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число <i>a</i> и узнаёт у Пети сумму цифр числа  |<i>x – a</i>|.  Какое минимальное число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить <i>x</i>?

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из <i>N</i> цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем <i>N</i> фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Расстоянием между числами  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃<i>a</i>₄<i>a</i>₅</span>  и  <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i>₁<i>b</i>₂<i>b</i>₃<i>b</i>₄<i>b</i>₅</span>  назовём максимальное <i>i</i>, для которого  <i>a_i</i> ≠ <i>b_i</i>.  Все пятизначные числа выписаны друг...

Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2&sup2, ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы уравнение  <i>x</i>&sup2 – <i>S</i>(<i>A</i>)<i>x + S</i>(<i>B</i>) = 0,  где <i>S</i>(<i>M</i>) – сумма чисел множества <i>M</i>, имело целый корень?

Существует ли такое натуральное число  <i>n</i> > 10¹⁰⁰⁰,  не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?

Обозначим<i> S</i>(<i>x</i>)сумму цифр числа<i> x </i>. Найдутся ли три таких натуральных числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>, что<i> S</i>(<i>a+b</i>)<i><</i>5,<i> S</i>(<i>a+c</i>)<i><</i>5и<i> S</i>(<i>b+c</i>)<i><</i>5, но<i> S</i>(<i>a+b+c</i>)<i>></i>50?

Дан ряд чисел<i> 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., </i>каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число<i> n>2 </i>равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.

Докажите, что для любого  <i>k</i> > 1  найдётся такая степень двойки, что среди <i>k</i> последних её цифр не менее половины составляют девятки.

(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог.

  а) Докажите, что это возможно.

  б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.

<i>N</i> друзей одновременно узнали <i>N</i> новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.

Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.

Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:

  а)  <i>N</i> = 64,

  б)  <i>N</i> = 55,

  в)  <i>N</i> = 100.

Рассматриваются всевозможные<i>n</i>-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется<i>n</i>-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

Задано такое натуральное число <i>A</i>, что для любого натурального <i>N</i>, делящегося на <i>A</i>, число <img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> тоже делится на <i>A</i>. (<img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> – число, состоящее из тех же цифр, что и <i>N</i>, но записанных в обратном порядке; например,  <img width="36" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_3.gif"&gt...

Дан ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..., в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Найдётся ли среди первых  10⁸+ 1  членов этого ряда число, оканчивающееся четырьмя нулями?

Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111<nobr>(100 единиц)</nobr>с точностью до<nobr>а) 100;</nobr><nobr>б) 101;</nobr><nobr>в)* 200</nobr>знаков после запятой.

По заданному ненулевому<i>x</i>значение<i>x</i>⁸можно найти за три арифметических действия:<nobr><i>x</i>² = <i>x</i> · <i>x</i>,</nobr><nobr><i>x</i>⁴ = <i>x</i>² · <i>x</i>²,</nobr><nobr><i>x</i>⁸ = <i>x</i>⁴ · <i>x</i>⁴,</nobr>а<nobr><i>x</i>¹⁵ —</nobr>за пять действий: первые<nobr>три —</nobr>те же самые, затем<nobr><i>x</i>⁸ · <i>x<...

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:А) приписать на конце <nobr>цифру 4;</nobr> Б) приписать на конце <nobr>цифру 0;</nobr> В) разделить на 2 (если число чётно). Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А <nobr>и Б,</nobr> то получим <nobr>число 140.</nobr> а) Из числа 4 получите <nobr>число 1972.</nobr> б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше<nobr><i>n</i> цифр,</nobr>разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во<nobr>второе —</nobr>c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа<nobr><i>k</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i></nobr>сумма<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел первого множества равна сумме<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел второго множества.

<img src="/storage/problem-media/73554/problem_73554_img_2.gif" width="172" height="69" vspace="10" hspace="20" align="right">В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени<nobr><i>t</i> = 0</nobr>возбудить три соседние клетки...

Назовём тройку чисел<i>триплетом</i>, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100,000$.

Король решил поощрить группу из $n$ мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направлении), на каждого наденут чёрную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или чёрный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно $k$ из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или чёрный цвет и число вне зависимости от договорённостей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе м...

  Обозначим через <i>S</i>(<i>k</i>) сумму цифр натурального числа <i>k</i>. Натуральное число <i>a</i> назовём <i>n-хорошим</i>, если существует такая последовательность натуральных чисел <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, что  <i>a_n = a</i>  и  <i>a</i>_<i>i</i>+1 = <i>a_i – S</i>(<i>a_i</i>)  при всех  <i>i</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1.  Верно ли, что для любого натурального <i>n</i> существует натуральное число, являющееся <i>n<...