Олимпиадные задачи по теме «Рациональные функции» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями

Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_2.gif"> ,   если  <i>а</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_3.gif">,   <i>b</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_4.gif">.

Известно, что выражения  4<i>k</i> + 5  и  9<i>k</i> + 4  при некоторых натуральных значениях <i>k</i> одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение  7<i>k</i> + 4  при тех же значениях <i>k</i>?

Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.

На бумажке записаны три положительных числа <i>x, y</i> и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

 a) число <i>x</i>²?   б) число <i>xy</i>?

Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...

Произведение положительных чисел <i>x, y</i> и <i>z</i> равно 1.

Докажите, что если  ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> + ¹/<i>_z ≥ x + y + z</i>,  то для любого натурального <i>k</i> выполнено неравенство  <i>x^–k + y^–k + z^–k ≥ x^k + y^k + z^k</i>.

Докажите, что найдутся четыре таких целых числа <i>a, b, c, d</i>, по модулю больших 1000000, что  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> + ¹/_<i>d</i> = ¹/_<i>abcd</i>.

Сумма чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, каждое из которых больше единицы, равна <i>S</i>, причём   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_2.gif">   для любого  <i>i</i> = 1, 2, 3.

Докажите, что   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_3.gif">

Пусть <i>a, b, c</i> – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109792/problem_109792_img_2.gif">

Числовое множество<i> M </i>, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов<i> a,b,c </i>из<i> M </i>число<i> a</i>2<i>+bc </i>рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное<i> n </i>, что для любого<i> a </i>из<i> M </i>число<i> a<img src="/storage/problem-media/109780/problem_109780_img_2.gif"> </i>рационально.

Доказать, что из равенства   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_2.gif">   вытекает равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_3.gif">   если <i>k</i> нечётно.

Зная, что<i> x²+x+1=0 </i>, определить<i> x¹⁴+1/x¹⁴ </i>.

Найти такие числа<i> A,B,C,a,b,c </i>, чтобы имело место тождество <center><i>

(4x-2)/(x³-x)=A/(x-a)+B/(x-b)+C/(x-c).

</i></center>

Положительные числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> таковы, что  <i>abc</i> = 1.  Докажите неравенство <div align="CENTER"> <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_2.gif"> + <img width="68" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_3.gif"> + <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_4.gif"> ≤ 1. </div>

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число  <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107816/problem_107816_img_2.gif"> + <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107816/problem_107816_img_3.gif">.

Для положительных чисел <i>x, y, z</i> выполнено равенство  ^<i>x</i>²/_<i>y</i> + ^<i>y</i>²/_<i>z</i> + ^<i>z</i>²/_<i>x</i> = ^<i>x</i>²/_<i>z</i> + ^<i>y</i>²/_<i>x</i> + ^<i>z</i>²/_<i>y</i>.  Докажите, что хотя бы два из чисел <i>x, y, z</i> равны между собой.

Целые ненулевые числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> таковы, что равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98505/problem_98505_img_2.gif"></div>выполнено при всех целых значениях<i>x</i>, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.   a) Докажите, что число<i>n</i>чётно.   б) При каком наименьшем<i>n</i>такие числа существуют?

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>¹⁹⁶⁴  делится без остатка на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>³  делится на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i>   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73719/problem_73719_img_2.gif">

Если сумма дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73562/problem_73562_img_2.gif">   равна 0, то сумма дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73562/problem_73562_img_3.gif">   тоже равна 0. Докажите это.

Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что  <img align="amsmiddle" src="/storage/problem-media/64428/problem_64428_img_2.gif">.  Какие значения может принимать выражение  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64428/problem_64428_img_3.gif">?

Пусть<i>xy</i>+<i>yz</i>+<i>xz</i>= 1. Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle {\dfrac{x}{1-x^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{y}{1-y^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{z}{1-z^2}}$ = $\displaystyle {\dfrac{4xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}$. </div>

Решите систему     <img width="20" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_2.gif"><img width="318" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_3.gif"> (<i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, <i>b</i>₁, ..., <i>b_n</i> – различные числа.)

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...