Олимпиадная задача: Рациональные функции и делимость, 10-11 класс, Скопенков М. Б.

Олимпиадная задача по математике: Рациональные функции, делимость в 10-11 классе

Задача

Целые ненулевые числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что равенство

выполнено при всех целых значенияхx, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части. a) Докажите, что числоnчётно. б) При каком наименьшемnтакие числа существуют?

Решение

а) Пусть n нечётно. Рассмотрим промежуток (b, +∞), где число b больше всех точек разрыва функции в левой части. Функция a_n + ¹/_x на этом промежутке убывает, функция возрастает, ..., функция в левой части данного равенства убывает. А функция в правой части возрастает. Противоречие. б) При n = 2 такое равенство невозможно. Действительно, функция – дробно-линейна (со знаменателем a₂x + 1), и прямая y = x пересекает её график не более чем в двух точках.