Олимпиадная задача на разложение рациональной функции для 8–10 классов

(4x-2)/(x³-x)=(A(x-b)(x-c)+B(x-a)(x-c)+C(x-a)(x-b))/((x-a)(x-b)(x-c)).

Поскольку обе дроби несократимы, то они равны при условиях равенства их числителей и знаменателей:

x³-x=x(x-1)(x+1)=(x-a)(x-b)(x-c).

Отсюда видно, что можно положить a=0,b=1,c=-1 . Запишем условие равенства числителей, учитывая найденные значения a,b,c :

4x-2=A(x-1)(x+1)+B(x+1)x+Cx(x-1)

или

4x-2=(A+B+C)x²+(B-C)x-A.

Отсюда получаем три необходимых уравнения для определения A, B, C : A+B+C=0, B-C=4, A=2 . Решая их, найдём: A=2, B=1, C=-3 . Итак,

(4x-2)/(x³-x)=2/x+1/(x-1)+3/(x+1).

A=2, B=1, C=-3, a=0, b=1, c=-1 .