Олимпиадные задачи по теме «Последовательности» для 10 класса

Последовательность <i>a_n</i> задана условием:  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n – a</i>_<i>n</i>–1.  Найдите <i>a</i>₁₀₀, если  <i>a</i>₁ = 3,  <i>a</i>₂ = 7.

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) такова, что для всех значений <i>x</i> выполняется равенство  <i>f</i>(<i>x</i> + 1) = <i>f</i>(<i>x</i>) + 2<i>x</i> + 3.  Известно, что  <i>f</i>(0) = 1.  Найдите <i>f</i>(2012).

Дана бесконечная последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...  Известно, что для любого номера <i>k</i> можно указать такое натуральное число <i>t</i>, что

<i>a_k = a_k+t = a</i>_{<i>k</i>+2<i>t</i>} = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное <i>T</i>, что  <i>a_k = a_k+T</i>  при любом натуральном <i>k</i>?

Дана клетчатая полоска из 2<i>n</i> клеток, пронумерованных слева направо следующим образом:1, 2, 3, ..., <i>n</i>, –<i>n</i>, ..., –2, –1 По этой полоске перемещают фишку, каждым ходом сдвигая её на то число клеток, которое указано в текущей клетке (вправо, если число положительно, и влево, если отрицательно). Известно, что фишка, начав с любой клетки, обойдёт все клетки полоски. Докажите, что число  2<i>n</i> + 1  простое.

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

На доске записаны числа: 4, 14, 24, ... , 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть ещё два, потом – ещё три, и, наконец, стереть ещё четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

Последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  задана условиями  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = 143  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif">   при всех  <i>n</i> ≥ 2.

Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Сколько существует таких натуральных <i>n</i>, не превосходящих 2012, что сумма  1^<i>n</i> + 2^<i>n</i> + 3^<i>n</i> + 4^<i>n</i>  оканчивается на 0?

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что  <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif">  при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2²⁰¹¹).

На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждение фильма, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.)

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?

Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?

На кольцевом треке 2<i>n</i> велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее <i>n</i>² встреч.

55 боксёров участвовали в турнире по системе "проигравший выбывает". Бои шли последовательно. Известно, что у участников каждого боя число предыдущих побед отличалось не более чем на 1. Какое наибольшее число боёв мог провести победитель турнира?

Дана функция <i>f</i>(<i>x</i>), значение которой при любом целом <i>x</i> целое. Известно, что для любого простого числа <i>p</i> существует такой многочлен <i>Q_p</i>(<i>x</i>) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что  <i>f</i>(<i>n</i>) – <i>Q_p</i>(<i>n</i>)  делится на <i>p</i> при любом целом <i>n</i>. Верно ли, что существует такой многочлен <i>g</i>(<i>x</i>) с вещественными коэффициентами , что  <i>g</i>(<i>n</i>) = <i>f</i>(<i>n</i>)  для любого целого <i>n</i>?

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из <i>n</i> человек, команда математических – из <i>m</i>, причём  <i>n</i> ≠ <i>m</i>.  Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?

Двадцать детей – десять мальчиков и десять девочек – встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка – сколько детей стоит слева от неё. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками.

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на <i>k</i>. При каком наименьшем <i>k</i> такое возможно?

По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более<i> k </i> раз. При каком наименьшем<i> k </i>все числа гарантированно можно сделать равными?

Последовательность<i> a₁,a₂,.. </i>такова, что<i> a₁<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a_k+</i>1<i>=a_k+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>S_n</i> сумму первых <i>n</i> простых чисел:  <i>S</i>₁ = 2,  <i>S</i>₂ = 2 + 3 = 5,  <i>S</i>₃ = 2 + 3 + 5 = 10,  ... .

Могут ли два подряд идущих члена последовательности (<i>S_n</i>) оказаться квадратами натуральных чисел?

Назовём тройку натуральных чисел  (<i>a, b, c</i>)  <i>квадратной</i>, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число <i>b</i> взаимно просто с каждым из чисел <i>a</i> и <i>c</i>, а число <i>abc</i> является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (<i>c, b, a</i>)  новой тройкой не считается.)

Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел<i>a</i>₁, ...,<i>a_n</i>, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?